В детском велосипеде шестерня заднего колеса имеет 21 зубец

Учебное погружение
«Текстовые задачи, решаемые с помощью
наименьшего общего кратного»

Учебное погружение «Текстовые задачи, решаемые с помощью наименьшего общего кратного», было проведено 22–24 ноября 2010 года для учащихся 6–8 классов Отделения развивающего обучения «Умка» школы № 000. В погружении участвовало 45 школьников. Подготовили и провели погружение А. В. Рыбалкина и А. И. Щетников.

Замысел

Школьные задачи на «бассейны», «совместную трапезу», «совместную работу» и т. п. известны с глубокой древности. Во всяком случае, в позднеантичных сборниках школьных задач они уже содержались, и надо думать, что этот учебный материал восходит к ещё более ранней эпохе. К этому же кругу примыкает и ряд задач на движение: «по кругу», «вверх и вниз по реке» и т. п.

В современной школе эти задачи решаются обычно на основе понятия производительности; а задачи на движение — с помощью аналогичного понятия скорости. При решении этих задач, как правило, используются обыкновенные дроби, в которых выражается производительность («бассейн заполнился за 7 часов» = «за 1 час заполнилась 1/7 бассейна»). Для современной школы характерен также алгебраический подход к решению этих задач, при котором все прямо и косвенно участвующие в задаче величины обозначаются разными буквами, для этих букв составляются несколько уравнений, при этом часть букв сокращается, после чего из системы уравнений извлекаются численные значения искомых величин.

Замысел погружения основан на возвращении к исходной арифметической идее, ради которой, как мы полагаем, все эти задачи и были когда-то придуманы — к идее наименьшего общего кратного. Представлять эту идею мы будем графически: рисуется отрезок, изображающий НОК, и под ним показывается, как другие отрезки укладываются в этом отрезке нацело. Усвоив эту идею, мы приобретаем возможность решать большую часть задач этого круга в уме, пользуясь простейшими числовыми расчётами, выполняемыми, по большей частью, в устном рассуждении.

Структура

Первые два дня погружения проводились по одной и той же схеме.

1 такт (30 минут). Вводный рассказ одного из ведущих: разбор одной задачи в качестве примера.

2 такт (40 минут). Работа в группах. Всем школьникам выдаётся первый листочек с двумя задачами. Каждая группа должна решить назначенную ей задачу и подготовить сообщение; если у неё останется время, она решает также вторую задачу.

3 такт (40 минут). Группы, выбранные жеребьёвкой, рассказывают решения «своих» задач.

Перерыв 10 минут.

4 такт (30 минут). Работа в парах: письменное решение трёх задач со второго листочка.

5 такт (30 минут). Устный разбор решений задач со второго листочка. Совместное решение с залом ещё одной, достаточно сложной задачи.

На третий день погружения сразу же проводились 2 и 3 такт, а затем, после небольшого перерыва, проходила математическая карусель по упрощённой форме: без исходного рубежа, 20 задач на зачётном рубеже, все задачи так или иначе связаны с темой погружения.

Первый день

Разобранный пример

1. Маленький коала объедает все листья с эвкалиптового дерева за 12 дней, его мама — за 6 дней, а папа — за 4 дня. За сколько дней это семейство объест все листья с одного эвкалиптового дерева?

Прежде всего, найдём такое время, в котором все времена, перечисленные в условии задачи, укладываются нацело. Очевидно, это время в 12 дней: ведь 12 делится и на 6, и на 4. Теперь зададим главный вопрос, позволяющий решить задачу: что произошло за эти 12 дней? Отвечаем на него: за 12 дней маленький коала объест листья с 1 дерева, его мама — с 2 деревьев, папа — с 3 деревьев. Следовательно, все вместе они объедят листья с 1 + 2 + 3 = 6 деревьев. Что мы узнали? Что за 12 дней всё семейство объест листья с 6 деревьев. Следовательно, листья с одного дерева они объедят за время, в 6 раз меньшее, то есть за 2 дня.

Групповая работа

2. Когда сток в бассейне закрыт, первая труба заполняет бассейн за 45 минут, вторая — за 36 минут. Вода из заполненного бассейна вытекает через сток за 60 минут. Определите, за какое время заполнится бассейн, если (а) обе трубы открыты, а сток закрыт; (б) открыты первая труба и сток? (в) открыты вторая труба и сток? (г) открыты обе трубы и сток?

Прежде всего, найдём общее кратное: это 3 часа = 180 минут. Что происходит за 3 часа? Первая труба заполняет 4 бассейна, вторая труба заполняет 5 бассейнов, и через сток выливается 3 бассейна. Запомним эти числа, записав их на доске в виде схемы или таблицы. Теперь можно отвечать на вопросы задачи.

Получить полный текст Подготовиться к ЕГЭ Найти работу Пройти курс Упражнения и тренировки для детей

А) За 180 минут заполнится 4 + 5 = 9 бассейнов. Следовательно, 1 бассейн заполнится за 20 минут.

Б) За 180 минут заполнится 4 – 3 = 1 бассейн. Мы сразу же получили ответ на вопрос задачи: 1 бассейн заполнится за 180 минут.

В) За 180 минут заполнится 5 – 3 = 2 бассейна. Следовательно, 1 бассейн заполнится за 90 минут.

Г) За 180 минут заполнится 5 + 4 – 6 = 3 бассейна. Следовательно, 1 бассейн заполнится за 60 минут.

3. Бабушка Васи, неподвижно стоящая на ступеньках эскалатора, поднимается вверх или же опускается вниз за 56 секунд. Вася взбегает вверх по неподвижному эскалатору за 42 секунды. Определите, за какое время Вася преодолеет движущийся эскалатор, если (а) он взбегает вверх по эскалатору, идущему вверх? (б) он взбегает вверх по эскалатору, идущему вниз?

Эта задача решается на основе той же самой идеи — с добавлением новых соображений, конечно. Прежде всего, найдём общее кратное. 56 = 4 раза по 14, 42 = 3 раза по 14; поэтому общее кратное равно 12 раз по 14 = 3 раза по 56 = 4 раза по 42 = 168 секунд. Что происходит за 168 секунд? Бабушка за это время может проехать 3 эскалатора. Вася за это же время может подняться на 4 эскалатора. Теперь можно отвечать на вопросы задачи. Для этого надо представить себе достаточно длинную ленту эскалатора, чтобы нам хватило места для всех манёвров; и пусть у этого эскалатора где-то имеется «стартовая площадка».

А) Когда Вася взбегает вверх по эскалатору, идущему вверх, пусть вместе с ним с этого же места стартует и бабушка. За 168 секунд бабушка поднимется вверх на 3 эскалатора; а Вася относительно бабушки поднимется ещё на 4 эскалатора. Значит, Вася поднялся от старта на 7 эскалаторов. А на один эскалатор он поднимется за время, в 7 раз меньшее, то есть за 168 : 7 = 24 секунды.

Б) Когда Вася взбегает вверх по эскалатору, идущему вниз, пусть вместе с ним с этого же места стартует и бабушка. За 168 секунд бабушка спустится вниз на 3 эскалатора; а Вася относительно бабушки поднимется на 4 эскалатора. Значит, Вася поднялся от старта на 1 эскалатор. Вот мы и нашли, что Вася поднимается на 1 эскалатор за 168 секунд.

Парная работа

4. Бассейн заполняется водой из трёх труб. Первая труба может заполнить бассейн за 9 часов, вторая — за 12 часов, третья — за 18 часов. За какое время заполнят бассейн все три трубы вместе?

5. Мама с дочкой тратят на уборку квартиры 30 минут. Мама убирает квартиру за 50 минут. За сколько минут делает это дочка?

6. Чтобы испечь 20 блинов, маме требуется 30 минут, а Ане — 40 минут. Андрюша готов съесть 20 блинов за час. Мама с Аней пекут блины без остановки, а Андрюша непрерывно их поедает. Через какое время после начала этого процесса на столе окажется 20 блинов? (Будем считать, что Андрюша поедает блины с самой первой секунды процесса, хотя это в строгом смысле неверно.)

Разбор на общем заседании

7. Передние покрышки автомобиля стираются через 25000 км, а задние — через 15000 км. Когда нужно поменять покрышки местами, чтобы они стёрлись одновременно?

И опять та же самая идея. Общее кратное здесь равно 75000 км. Спросим себя, что происходит за это время? Отвечаем: за это время снашиваются 3 комплекта передних покрышек и 5 комплектов задних покрышек. Всего снашивается 8 пар покрышек, что составляет 4 полных комплекта. Стало быть, полный комплект при правильной замене сносится за 75000 : 4 = 18750 км. А где надо делать эту замену? Очевидно, проехав половину расстояния, ведь тогда обе пары за полное расстояние сносятся одинаково. Стало быть, покрышки надо менять через 18750 : 2 = 9375 км.

Второй день

Разобранный пример

1. Тиран Поликрат однажды спросил у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат, — отвечал Пифагор. — половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь к ним трёх юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины». Сколько учеников было у Пифагора?

Мы знаем, что число учеников Пифагора делится нацело на 2, 4, 7. Какое наименьшее число делится на все эти числа? Если число делится на 4, оно же делится и на 2. Поэтому двойку пока что принимать в учёт не надо — у нас и так есть четвёрка. Чтобы число делилось на 4 и на 7, оно должно делиться на 28. Стало быть, мы уже знаем, что число учеников Пифагора делится на 28.

Допустим, что оно равно 28, и посмотрим, что у нас при этом получится. Тогда математику изучает 14 человек, тайны природы исследует 7 человек, силу духа упражняет 4 человека. Всего получилось 14 + 7 + 4 = 25 человек. Неучтенными оказались 28 – 25 = 3 человека. Но именно о 3 учениках говорит Пифагор — стало быть, у нас всё сошлось, и мы уже нашли правильный ответ: у Пифагора было 28 учеников.

Групповая работа

2. Делёж орехов

Рос орешник, и было на нём много-много орехов.
Но подошел к нему человек, и орешник промолвил:
«Пятую часть моих орехов взяла Парфенона,
Четверть взяла Аганиппа, потом Филинна — восьмую
Часть, потом Орифия — седьмую, потом Евринома
С веток моих собрала шестую долю орехов.
Трое Харит унесли сто шесть орехов, а девять
Муз забрали каждая по девять. Вот и осталось
Только семь орехов на самой дальней из веток!»

Получить полный текст Подготовиться к ЕГЭ Найти работу Пройти курс Упражнения и тренировки для детей

Мы знаем, что число орехов делится нацело на 4, 5, 6, 7, 8. Какое наименьшее число делится на все эти числа? Если число делится на 8, оно же делится и на 4. Поэтому 4 можно не принимать в учёт. Стало быть, остаются числа 5, 6, 7, 8. Числа 5 и 7 — простые. А вот 6 — это 2 · 3. Но 2 уже есть в составе 8, поэтому в чёт надо принимать только 3. Итак, 5 · 3 · 7 · 8 = 840. Мы знаем, что число орехов делится на 840.

Допустим, что оно равно 840. Тогда Парфенона взяла 840 : 5 = 168 орехов, Аганиппа — 840 : 4 = 210 орехов, Филинна — 840 : 8 = 105 орехов, Орифия — 840 : 7 = 120 орехов, Евринома — 840 : 6 = 140 орехов. Это всё, что было выражено не в орехах, а в долях целого; всего здесь получается 168 + 210 + 105 + 120 + 140 = 743 ореха. При этом остаток равен 840 – 743 = 97 орехов.

А какой остаток получился в действительности? Хариты унесли 106 орехов, и Музы унесли 81 орех, и на ветках осталось 7 орехов; всего в числах выражено 106 + 81 + 7 = 194 ореха. Это в 2 раза больше, чем 97. Стало быть, и орехов на орешнике было в 2 раза больше, чем 840: так что их было 1680.

3. Три автомобиля одновременно, из одной точки и в одном направлении, выехали по кольцевой трассе. Каждый автомобиль движется с постоянной скоростью. Проехав ровно 6 кругов, первый автомобиль впервые догнал второй, а проехав ровно 8 кругов — третий. Сколько кругов проедут второй и третий автомобили к моменту своей первой встречи?

Здесь надо удержать в уме простое соображение: если в задаче сказано, что первый автомобиль догнал второй, проехав к этому времени 6 кругов, это означает, что второй автомобиль к этому же времени проехал на один круг меньше, то есть 5 кругов.

Будем решать задачу в нашем общем стиле. Прежде всего найдём НОК (6, 8) = 24. Теперь спросим себя, что произойдёт, когда первый автомобиль проедет 24 круга? За 6 кругов он обогнал второй автомобиль на круг, поэтому за 24 круга он обгонит второй автомобиль на 4 круга, и второй автомобиль проедет 20 кругов. За 8 кругов он обогнал третий автомобиль на круг, поэтому за 24 круга он обгонит третий автомобиль на 3 круга, и третий автомобиль проедет 21 круг. Стало быть, когда первый автомобиль проедет 24 круга, второй автомобиль проедет 20 кругов, а третий автомобиль — 21 круг. Но при этих условиях второй и третий автомобиль как раз встретятся в первый раз, поскольку произойдёт первый обгон.

Парная работа

5. Гробница Диофанта

Здесь погребён Диофант. Дивись великому чуду:
Числа на этой плите скажут усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Часть седьмая прошла — и с подругою он обручился;
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.
Бедный сын! Вдвое меньше отца он прожил на свете,
И возложили его на погребальный костер.
Дважды два года ещё отец оплакивал сына;
Тут и нашел он конец жизни печальной своей.

То же рассуждение, что и в задачах 1, 2.

6. Пароход от Нижнего Новгорода до Астрахани идёт 5 суток, а от Астрахани до Нижнего Новгорода 7 суток. Сколько дней будут плыть по течению плоты от Нижнего Новгорода до Астрахани?

Что нам напоминает эта задача? Решали ли мы нечто подобное ранее? Конечно же, это задача про бабушку и Васю на эскалаторе! Река — это лента эскалатора, пароход — это Вася, который бегает по движущемуся эскалатору, а бабушка плывёт на плоту: ведь плот плывёт со скоростью течения.

НОК (7, 5) = 35. За 35 суток Вася на пароходе опустится на 7 рек; за следующие 35 суток он поднимется на 5 рек; то есть он за 70 суток опустится вниз на 2 реки. Первые 35 суток он убегал от бабушки вниз по эскалатору, вторые 35 суток — поднимался вверх по эскалатору с той же скоростью; стало быть, через 70 суток он вернулся к бабушке. Получается, что за 70 суток бабушка на плоту опустится вниз на 2 реки. Поэтому плот опускается на одну реку за 70 : 2 = 35 суток.

7. Три колокола начинают бить одновременно. Интервалы между ударами составляют 4 секунды, 5 секунд и 6 секунд. Совпавшие удары воспринимаются за один. Сколько ударов будет услышано за 3 минуты, включая первый и последний удар?

НОК (4, 5, 6) = 60. Стало быть, через 60 секунд все три колокола снова ударят одновременно. Получается, что каждая минута внутри устроена одинаково. Так что нам нужно найти число отдельных ударов внутри минуты, умножить его на 3 и прибавить 4 граничных удара.

Первый колокол бьёт внутри минуты 60 : 4 – 1 = 14 раз, второй — 60 : 5 – 1 = 11 раз, третий — 60 : 6 – 1 = 9 раз; всего 14 + 11 + 9 = 34 раза. Но некоторые удары были двойными, и мы их посчитали дважды. Первый и второй колокол бьют вместе каждые 20 секунд, таких ударов внутри минуты 2; первый и третий колокол бьют вместе каждые 12 секунд, таких ударов внутри минуты 4; второй и третий колокол бьют вместе каждые 30 секунд, таких ударов внутри минуты 1; всего двойных ударов 2 + 4 + 1 = 7. Так что внутри каждой минуты раздельно звучат 34 – 7 = 27 ударов. За три минуты прозвучит 3 · 27 + 4 = 85 ударов.

Разбор

8. Отец и сын катаются по кругу на катке. Время от времени отец обгоняет сына. Когда отец стал ездить по кругу в другую сторону, они стали встречаться в 5 раз чаще. Во сколько раз отец бегает быстрее сына?

Посмотрим, что происходит когда отец и сын едут в разные стороны. Вот они выехали со старта и встретились. В духе вчерашних задач про совместную трапезу мы можем сказать, что они вдвоём «съели 1 круг»! А когда они ехали в разные стороны, до первой встречи они ехали в пять раз большее время; значит, они вместе «съели 5 кругов»! Теперь всё понятно: поскольку один из них проехал на круг больше другого (это мы уже выяснили сегодня в третьей задаче), значит отец проехал 3 круга, а сын — 2 круга. Поэтому отец ездит в полтора раз быстрее сына.

Третий день

1. Найдите наименьшее натуральное число, большее 1 и дающее при делении на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 остаток, равный 1.

Если от искомого числа отнять 1, результат будет делиться на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Ясно, что если число делится на 8, оно делится также на 2 и 4; и если число делится на 6, оно делится также на 2 и 3. Так что нам нужно найти НОК (5, 6, 7, 8). Чтобы число делилось на 6 и 8, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и 8. Таким образом, надо образовать произведение 3 · 5 · 7 · 8 = 840. Искомое число равно 841.

2. Найдите все трёхзначные числа, которые при делении на каждое из чисел 3, 5, 7 дают в остатке 2.

3. Вдоль шоссе поставили 2008 столбов освещения. В первый вечер горели лампы на всех столбах, во второй — на каждом втором по счёту столбе, в третий — на каждом третьем, в четвёртый — на каждом четвёртом, в пятый — на каждом пятом, в шестой — на каждом шестом, в седьмой — на каждом седьмом столбе. На каком количестве столбов лампы горели каждый вечер?

4. Имеются две шестерёнки — у первой 120 зубцов, у второй 14 зубцов. Первая шестерёнка закреплена неподвижно, а вторая может кататься вокруг первой. Один из зубцов второй шестерёнки окрашен; соприкасаясь с первой шестерёнкой, он оставляет на ней отметку. Сколько раз прокатится вторая шестерёнка по первой, прежде чем окрашенный зубец попадёт в уже отмеченную ранее точку? Сколько всего таких отметок оставит вторая шестерёнка на первой?

Для начала раскатаем одну из шестерёнок в «зубчатую линейку». НОК (120, 14) = 120 · 7 = 14 · 60. Это означает, что 7 больших шестерёнок равны 60 малым. Система вернётся в первоначальное положение, когда малая шестерёнка сделает 60 оборотов, прокатившись 7 раз вокруг большой шестерёнки. При этом окажутся прокрашенными все впадины большой шестерёнки через одну.

Теперь надо завернуть линейку обратно в круг. Каждый такой круг даёт ещё один оборот малой шестерёнки. Так что малая шестерёнка сделает 67 оборотов вокруг своей оси.

Математическая карусель

1. Лошадь съедает копну сена за 2 суток, корова — за 3 суток, овца — за 6 суток. За какое время съедят копну сена лошадь, корова и овца вместе? (1 сутки)

2. Опытный дрессировщик может вымыть слона за 40 минут, а его сыну для этого требуется 120 минут. За сколько минут они вымоют трёх слонов, работая вдвоём? (90 минут)

3. В пустой бассейн, вмещающий 10000 ведер воды, проведены для его наполнения три трубы. Посредством первой трубы в 1 минуту вливается 32 ведра, посредством второй — 5 ведрами более, нежели через первую, а через третью трубу в 1 минуту вливается столько же ведер, сколько через первую в 3 минуты. Все трубы были открыты одновременно и действовали в течение 55 минут. Сколько ведер воды надо после этого ещё добавить, чтобы бассейн был наполнен? (925 вёдер)

4. Кот Матвей выпивает 1 литр молока за 6 дней, кошка Мурка — за 10 дней, а котёнку Ваське его хватило бы на 15 дней. Сколько литров молока нужно этим кошкам на неделю? (2⅓ литра)

5. На столе лежат книги, число которых меньше, чем 100. Сколько лежит книг, если известно, что их можно связывать пачки по 3, по 4, и по 5 штук? (60 книг)

6. Лошадь, пони и верблюд съедают одну охапку сена за 30 минут, лошадь и верблюд — за 40 минут. Сколько времени будет есть охапку сена пони? (120 минут)

7. Лошадь и пони съедают 1 стог сена за 12 дней, верблюд и пони — за 6 дней, лошадь и верблюд — за 4 дня. На сколько дней хватит 1 стога всем троим животным? (4 дня)

8. Один насос может выкачать в течение 5 часов 10/21 бассейна, другой насос в течение 7 часов выкачивает 14/23 бассейна и третий в 2 часа выкачивает 3/10 бассейна. Который насос действует с большей силой? (третий)

9. Пузырь, Соломинка и Лапоть переправляются через речку. Если будет грести только Соломинка, они переправятся за 1 час. Лапоть гребёт в 4 раза сильнее Соломинки, а Пузырь — в 3 раза сильнее Соломинки. За сколько минут они переправятся через речку, если будут грести втроём? (7 минут 30 секунд)

10. Пятачок съедает за 60 минут полторы банки сгущёнки, Крошка Ру — половину банки, а Вини-Пух — 3 банки. За сколько минут они съедят одну банку сгущёнки втроём? (12 минут)

11. Верблюд съедает воз сена за 16 дней, а верблюд и тапир вместе — за 12 дней. На сколько дней хватает воза сена тапиру? (48 дней)

12. Вода поступает в бассейн через четыре трубы. Если открыты первая, вторая и третья трубы, бассейн заполняется за 12 минут; если открыты вторая, третья и четвёртая трубы — за 15 минут; если первая и четвёртая — за 20 минут. За какое время заполняется бассейн, если открыты все четыре трубы? (10 минут)

13. Пятачок съедает горшок мёда за 30 дней, кролик — за 15 дней. За сколько дней съедает горшок мёда Вини-Пух, если все вместе они съедают горшок мёда за 5 дней? (10 дней)

14. Коза и корова съедают воз сена за 45 дней, корова и овца — за 60 дней, а овца и коза — за 90 дней. За сколько дней съедят воз сена коза, овца и корова вместе? (40 дней)

15. Теплоход «Суворов» свой рейс туда и обратно совершает за 8 дней, теплоход «Горький» за 12 дней, а теплоход «Киров» за 18 дней. Через сколько дней теплоходы снова встретятся в порту, если они ушли в рейс одновременно? (72 дня)

16. В детском велосипеде шестерня заднего колеса имеет 21 зубец, а шестерня педали 44 зубца. Какое наименьшее число оборотов должна сделать педаль, чтобы шестерни вернулись в свое первоначальное положение? (21 оборот)

17. Саша ходит в бассейн один раз в 3 дня, Вася — один раз в 4 дня, Ваня — один раз в 5 дней. Они встретились в бассейне в понедельник. В какой день недели они встретятся в следующий раз? (в пятницу)

18. Работник выполнил 3/7 работы за 1 час 15 мин. За сколько времени он окончит остальную часть работы? (1 час 40 минут)

19. Писец может написать в день 7 листов, а его сын только 4 листа. В течение первых 6 дней занимался перепиской только один сын, после чего стал помогать ему и отец, чтобы окончить работу к сроку. По окончании работы оказалось, что оба написали по одинаковому числу листов. Сколько всего листов было ими написано? (112 листов)

20. Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, горячей — за 8 минут. Если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 минут 20 секунд. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой? (1 час 20 минут)

Велосипедные звездочки

Звезды – узлы трансмиссии для осуществления цепной передачи усилий от ног велосипедиста на заднее колесо. Звездочки для велосипеда играют первостепенную роль – без них он просто не поедет. Односкоростные модели снабжаются парой – ведущей и ведомой звездами. Велосипеды с многоступенчатой трансмиссией оснащаются скоростными наборами спереди (система) и сзади – трещотка или кассета.

Количество и размеры звезд определяют гибкость велосипеда в различных дорожных условиях. Благодаря правильному передаточному отношению, можно существенно снизить энергозатраты на поездку и перемещаться с комфортной скоростью. Долговечность деталей зависит от качества материала, стиля катания и качества обслуживания – при должном уходе даже «начальные» звезды прокатают дольше профессиональных, но запущенных.

Передаточное отношение ведущих и ведомых звезд

Звезды на скоростных велосипедах располагаются на правом шатуне (ведущие) и втулке заднего колеса (ведомые). Через цепь идет передача усилий от передних шестерней к задним. Интересно, что заднее колесо, наоборот, ведущее, а переднее – ведомое.

Передаточное отношение – разница между размерами и количеством зубьев на звездах. Данный параметр напрямую влияет на скорость передвижения и мощность передачи. Высокое передаточное отношение обеспечивают большая ведущая и малая ведомая шестеренки, низкое – наоборот, малая передняя и большая задняя звездочка. Соответственно, передачи на классической трансмиссии в первом случае 3 х 8, а во втором 1 х 1.

Чем больше передняя звезда, тем выше скорость. Например, спереди имеется 44 зуба для зацепления цепи, сзади – 11 зубьев. За один оборот педалей задняя шестерня и проделают 4 оборота. Если взять передачу 22 на 11, то здесь за один оборот педалей будет сделано только 2 оборота колеса. На низких передачах наблюдается обратная ситуация: спереди цепь стоит на 22-зубчатой шестерне, а сзади на 32. Передаточное отношение меньше 1, то есть за 1 оборот педалей колеса не успевают прокрутиться полностью.

Высокие передачи предназначены для быстрого передвижения по ровной дороге. На подъемах, при встречном ветре и в плохих дорожных условиях используются пониженные передачи – скорость велосипеда ниже, зато выше мощность и меньше энергозатраты. Зачастую используются передачи со средним соотношением звезд, например, 2 х 5 и 2 х 6.

На каждую звезду системы приходится свой диапазон на кассете. Он может «плавать», то есть одна и та же задняя передача относится к двум звездам системы сразу, но, в принципе, закономерность такая:

Схема оптимального соотношения передач при разных режимах езды

Что имеем для односкоростных велосипедов? Здесь всего пара шестеренок, классическое передаточное отношение 2. Соответствует средним показателям на скоростных моделях, предназначено для передвижения по асфальту, укатанным грунтам, условно приемлемо на коротких подъемах.

Увеличить скорость велосипеда-синглспида самостоятельно можно, если поставить вперед звезду большего диаметра. Для частого преодоления горок актуальнее будет увеличить размеры задней шестерни.

И напоследок о том, как нумеруются передачи. В системе звездочки располагаются в порядке убывания, на кассетах – по возрастанию. Крайние внешние шестеренки – высшие передачи, внутренние – низшие. Меньшая передняя звезда соответствует первой, в кассете – последней передаче. По числу звезд спереди и сзади определяется ступенчатость трансмиссии, для этого множим цифры:

• 1 х 7 = 7 передач;
• 3 х 7 = 21 передача;
• 3 х 8 = 24 передачи;
• 3 х 9 = 27 передач.

И так далее. Нужно ли такое количество «скоростей» на практике? Все зависит от стиля катания и области использования велосипеда. Однако важно правильно подбирать звезды – так они и цепь будут меньше подвергаться износу, а поездки будут более комфортными. И если трансмиссия позволяет с максимальной точностью подобрать передачу, то так и надо делать.

Овальные звезды, отличия от круглых

Овальная звезда – новинка или ретро-всплеск? Можно сказать, и то, и другое. Экспериментировать с формой шестерней на цепную передачу (а именно, придавать ей сплюснутую форму) начали еще в позапрошлом столетии. Далее это как-то забылось, а в последние годы вернулось и активно внедрилось в современную веложизнь.

Эксцентриситет звездочки немногим больше нуля, поэтому форма близка к кругу, по аналогии с орбитой Земли. Максимальная сдавленность может достигать 30 %. Популярности в наше время не имеют, выпуск больше направлен на гоночные модели.

Овальная система O’symetric на спортивный велосипед

Вращающийся вокруг оси эллипс по-своему перераспределяет нагрузки и меняет эффективность передаточного момента.

Рассмотрим, в чем особенности эллипсоидных шестеренок:

• скачки передаточного соотношения звезд;
• более равномерное распределение нагрузок – снижение их при горизонтальном положении шатунов и увеличение при вертикальном;
• ярко выражен разгон;
• дополнительные нагрузки на вал каретки.

В соответствии с этим разберем плюсы и минусы таких звезд в сравнении с круглыми:

Эллипсная трансмиссия оправдывает себя в случаях, когда приходится педалировать с низким каденсом. По сравнению с круглым аналогом, он дает некоторое преимущество в разгоне велосипеда с места. Также наблюдается изменение передаточного отношения без переключения.

Эллипсоидные шестерни с небольшим искривлением можно ставить на велосипеды с фикс-передачей

Комбинации положений звезд трасмиссии:

• передняя – горизонтально, задняя – вертикально;
• спереди – вертикально, ведомая – горизонтально;
• только горизонтальное положение;
• только вертикальное положение;
• отклонение: например, ведущая звездочка располагается строго вертикально, а задняя отстоит на угол от прямой.

Таким образом, овальные система и кассета накладывают на велосипед отпечатки принципиальных отличий: как на внешности, так и на качестве езды.

Виды закрепления звезд на кассете

Вернемся к классическим круглым кассетам. В отличие от трещоток они различаются между собой по типу закрепления на барабанах. Велосипедные кассеты бывают:

• разборные на едином барабане с разделителями;
• на пауке;
• на блоках (нескольких пауках);
• Open-Glide;
• X-Dome.

Первый тип кассеты самый простой – все звезды устанавливаются на единый шлицевой барабан. Между собой разделены перегородками – спейсерами. К недостатку относится постоянная нагрузка на барабан. Зато неоспоримое преимущество в том, что их легко разобрать и поменять одну звездочку. Их легко почистить, но при этом компоненты чаще загрязняются.

Паук – лайт-вариант разборной кассеты. Нагрузка на барабан не такая большая – здесь она поступает не от каждой звезды, а только от шлицевого крепления паука. Эти кассеты легче, реже загрязняются.

Конструкция на нескольких пауках включает в себя несколько пар плюс отдельно закрепленные на барабане маленькие звезды. Модель очень удобна тем, что новый блок легко подобрать и, в отличие от разборного аналога, не надо долго возиться со спейсерами и раскладывать всю кассету. Разработка этой штуки принадлежит японскому производителю запчастей Shimano.

Open Glide – цельный набор, который насаживается на самую большую шестерню. Неприхотливая модель: благодаря высококачественному материалу меньше износ, долгий срок службы, небольшой вес. Правда, чистить сильно загрязненную кассету проблемно.

Цельно-разборный набор шестерней SRAM X-Dome

Аналогичной конструкцией представлена система X-Dome. Здесь с барабаном контактируют и большая, и маленькая звезды. На них насаживается цельнофрезерованный блок из 7–8 звезд. И Open-Glide, и X-Dome принадлежат фирме SRAM.

Как почистить и смазать звездочки

Трущиеся механизмы требуют периодической смазки и чистки от грязи. Это позволит улучшить качество поездок и удлинит срок эксплуатации трансмиссии. В комплект классических односкоростных моделей зачастую входит защита цепи. Рекомендуется оставить ее. Она также предохраняет от лишней грязи переднюю звезду.

Уже после нескольких покатушек по лесам, пересеченке и бездорожью горный велосипед обрастает грязью. И если на колесах и раме ее хорошо видно, то в механизмах не всегда. Поэтому чаще нужно осматривать своего двухколесного коня и вовремя принимать меры.

Чистка велосипедной кассеты:
1. Разжать ободной тормоз (снять калипер на дисковом тормозе), снять заднее колесо.

2. Осмотреть на грязь. Если все очень плохо, придется снимать и разбирать кассету. При незначительных загрязнениях можно чистить прямо на колесе.

3. Для очистки лучше используются специальные узкие щетки. Они позволяют залезть в глубокие промежутки между шестернями и найти там много интересного. Да и гораздо удобнее, чем залезать в зазоры тряпкой.

4. Очистить зубчики можно при помощи старой зубной щетки или же стереть абразив мягкой салфеткой.

5. После этого протереть поверхности керосином, дать высохнуть и нанести смазку на зубчики и ямки. Одновременно с кассетой чистить и смазывать рекомендуется и цепь. Только так будет достигнут нужный результат.

Чистка системы делается по аналогии. Здесь все проще: колесо снимать не нужно, всего несколько звезд. Правда, работать нужно аккуратно, чтобы не повредить и не расстроить переключатель.

Звездочки – важнейшие составляющие трансмиссии, без которых движение невозможно в принципе. Правильный подбор передач, периодическая очистка и своевременная замена изношенных компонентов позволят избежать неприятных сюрпризов на дороге, а скоростной велосипед, действительно, будет скоростным, а не ехать только на одной передаче.

Модуль зубьев зубчатого колеса

Зубчатая передача впервые была освоена человеком в глубокой древности. Имя изобретателя осталось скрыто во тьме веков. Первоначально зубчатые передачи имели по шесть зубьев — отсюда и пошло название «шестерня». За многие тысячелетия технического прогресса передача многократно усовершенствовалась, и сегодня они применяются практически в любом транспортном средстве от велосипеда до космического корабля и подводной лодки. Используются они также в любом станке и механизме, больше всего шестеренок используется в механических часах.

Что такое модуль зубчатого колеса

Современные шестерни далеко ушли от своих деревянных шестизубых предков, изготавливаемых механиками с помощью воображения и мерной веревочки. Конструкция передач намного усложнилась, тысячекратно возросли скорость вращения и усилия, передаваемые через такие передачи. В связи с этим усложнились и методы их конструирования. Каждую шестеренку характеризует несколько основных параметров

• диаметр;
• число зубьев;
• шаг;
• высота зубца;
• и некоторые другие.

Одним из самых универсальных характеристик является модуль зубчатого колеса. Существует для подвида — основной и торцевой.

В большинстве расчетов используется основной. Он рассчитывается применительно к делительной окружности и служит одним из важнейших параметров.

Для расчета этого параметра применяют следующие формулы:

Параметры зубчатых колес

Модуль зубчатого колеса можно рассчитать и следующим образом:

где h — высота зубца.

где De — диаметр окружности выступов,а z — число зубьев.

Что же такое модуль шестерни?

это универсальная характеристика зубчатого колеса, связывающая воедино такие его важнейшие параметры, как шаг, высота зуба, число зубов и диаметр окружности выступов. Эта характеристика участвует во всех расчетах, связанных с конструированием систем передач.

Формула расчета параметров прямозубой передачи

Чтобы определить параметры прямозубой шестеренки, потребуется выполнить некоторые предварительные вычисления. Длина начальной окружности равна π×D, где D — ее диаметр.

Расчет модуля зубчатого колеса

Шаг зацепления t – это расстояние между смежными зубами, измеренное по начальной окружности. Если это расстояние умножить на число зубов z, то мы должны получить ее длину:

проведя преобразование, получим:

Если разделить шаг на число пи, мы получим коэффициент, постоянный для данной детали зубчатой передачи. Он и называется модулем зацепления m.

размерность модуля шестерни — миллиметры. Если подставить его в предыдущее выражение, то получится:

выполнив преобразование, находим:

Отсюда вытекает физический смысл модуля зацепления: он представляет собой длину дуги начальной окружности, соответствующей одному зубцу колеса. Диаметр окружности выступов D_e получается равным

где h’- высота головки.

Высоту головки приравнивают к m:

Проведя математические преобразования с подстановкой, получим:

Диаметр окружности впадин D_i соответствует D_e за вычетом двух высот основания зубца:

где h“- высота ножки зубца.

Для колес цилиндрического типа h“ приравнивают к значению в 1,25m:

Устройство зубчатого колеса

Выполнив подстановку в правой части равенства, имеем:

что соответствует формуле:

и если выполнить подстановку, то получим:

Иначе говоря, головка и ножка зубца относятся друг к другу по высоте как 1:1,25.

Следующий важный размер, толщину зубца s принимают приблизительно равной:

• для отлитых зубцов: 1,53m:
• для выполненных путем фрезерования-1,57m, или 0,5×t

Поскольку шаг t приравнивается к суммарной толщине зубца s и впадины s_в, получаем формулы для ширины впадины

• для отлитых зубцов: s_в=πm-1,53m=1,61m:
• для выполненных путем фрезерования- s_в= πm-1,57m = 1,57m

Характеристики конструкции оставшейся части зубчатой детали определяются следующими факторами:

• усилия, прикладываемые к детали при эксплуатации;
• конфигурация деталей, взаимодействующих с ней.

Детальные методики исчисления этих параметров приводятся в таких ВУЗовских курсах, как «Детали машин» и других. Модуль шестерни широко используется и в них как один из основных параметров.

Для отображения шестеренок методами инженерной графики используются упрощенные формулы. В инженерных справочниках и государственных стандартов можно найти значения характеристик, рассчитанные для типовых размеров зубчатых колес.

Исходные данные и замеры

На практике перед инженерами часто встает задача определения модуля реально существующей шестерни для ее ремонта или замены. При этом случается и так, что конструкторской документации на эту деталь, как и на весь механизм, в который она входит, обнаружить не удается.

Самый простой метод — метод обкатки. Берут шестерню, для которой характеристики известны. Вставляют ее в зубья тестируемой детали и пробуют обкатать вокруг. Если пара вошла в зацепление — значит их шаг совпадает. Если нет — продолжают подбор. Для косозубой выбирают подходящую по шагу фрезу.

Такой эмпирический метод неплохо срабатывает для зубчатых колес малых размеров.

Для крупных, весящих десятки, а то и сотни килограмм, такой способ физически нереализуем.

Результаты расчетов

Для более крупных потребуются измерения и вычисления.

Как известно, модуль равен диаметру окружности выступов, отнесенному к числу зубов плюс два:

Последовательность действий следующая:

• измерить диаметр штангенциркулем;
• сосчитать зубцы;
• разделить диаметр на z+2;
• округлить результат до ближайшего целого числа.

Зубец колеса и его параметры

Данный метод подходит как для прямозубых колес, так и для косозубых.

Расчет параметров колеса и шестерни косозубой передачи

Расчетные формулы для важнейших характеристик шестерни косозубой передачи совпадают с формулами для прямозубой. Существенные различия возникают лишь при прочностных расчетах.

Шестерни, зубчатые зацепления

Зубчатое колесо шестерня — основная деталь зубчатой передачи в виде диска с зубьями на цилиндрической или конической поверхности, входящими в зацепление с зубьями другого зубчатого колеса. В машиностроении принято малое зубчатое колесо называть шестернёй , а большое — колесом.

Зубчатые колёса обычно используются па́рами с разным числом зубьев с целью преобразования вращающего момента числа оборотов валов на входе и выходе. Колесо, к которому вращающий момент подводится извне, называется ведущим, а колесо, с которого момент снимается — ведомым. Если диаметр ведущего колеса меньше, то вращающий момент ведомого колеса увеличивается за счёт пропорционального уменьшения скорости вращения, и наоборот. В соответствии с передаточным отношением, увеличение крутящего момента будет вызывать пропорциональное уменьшение угловой скорости вращения ведомой шестерни, а их произведение — механическая мощность — останется неизменным. Данное соотношение справедливо лишь для идеального случая, не учитывающего потери на трение и другие эффекты, характерные для реальных устройств.

Цилиндрические зубчатые колёса

Профиль зубьев колёс как правило имеет эвольвентную боковую форму. Однако существуют передачи с круговой формой профиля зубьев (передача Новикова с одной и двумя линиями зацепления) и с циклоидальной. Кроме того, в храповых механизмах применяются зубчатые колёса с несимметричным профилем зуба.

Параметры зубчатого колеса

• m — модуль колеса.

Модулем зацепления называется линейная величина в π раз меньшая окружного шага P или отношение шага по любой концентрической окружности зубчатого колеса к π, то есть модуль — число миллиметров диаметра делительной окружности приходящееся на один зуб. Тёмное и светлое колесо имеют одинаковый модуль. Самый главный параметр, стандартизирован, определяется из прочностного расчёта зубчатых передач. Чем больше нагружена передача, тем выше значение модуля. Через него выражаются все остальные параметры.

Модуль измеряется в миллиметрах, вычисляется по формуле:

• z — число зубьев колеса;
• p — шаг зубьев (отмечен сиреневым цветом);
• d — диаметр делительной окружности (отмечена жёлтым цветом);
• d_a — диаметр окружности вершин тёмного колеса (отмечена красным цветом);
• d_b — диаметр основной окружности — эвольвенты (отмечена зелёным цветом);
• d_f — диаметр окружности впадин тёмного колеса (отмечена синим цветом);
• h_aP+h_fP — высота зуба тёмного колеса;
• x+h_aP+h_fP — высота зуба светлого колеса.

В машиностроении приняты определенные значение модуля зубчатого колеса m для удобства изготовления и замены зубчатых колёс, представляющие собой целые числа или числа с десятичной дробью: 0,5; 0,7; 1; 1,25; 1,5; 1,75; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5 и так далее до 50 (подробнее см. ГОСТ 9563-60 Колеса зубчатые. Модули).

Высота головки зуба — h_aP и высота ножки зуба — h_fP — в случае так называемого нулевого зубчатого колеса (изготовленного без смещения, зубчатое колесо с «нулевыми» зубцами) (смещение режущей рейки, нарезающей зубцы, ближе или дальше к заготовке, причем смещение ближе к заготовке наз. отрицательным смещением, а смещение дальше от заготовки называется положительным) соотносятся с модулем m следующим образом: h_aP = m; h_fP = 1,25 m, то есть:

Отсюда получаем, что высота зуба h (на рисунке не обозначена):

Вообще, из рисунка ясно, что диаметр окружности вершин d_a больше диаметра окружности впадин d_f на двойную высоту зуба h. Исходя из всего этого, если требуется практически определить модуль m зубчатого колеса, не имея нужных данных для вычислений (кроме числа зубьев z), то необходимо точно измерить его наружный диаметр d_a и результат разделить на число зубьев z плюс 2:

Продольная линия зуба

Зубчатые колеса классифицируются в зависимости от формы продольной линии зуба на:

• прямозубые;
• косозубые;
• шевронные.

Прямозубые колёса

Прямозубые колёса — самый распространённый вид зубчатых колёс. Зубья расположены в радиальных плоскостях, а линия контакта зубьев обеих шестерён параллельна оси вращения. При этом оси обеих шестерён также должны располагаться строго параллельно.

Прямозубые колеса имеют наименьшую стоимость, но, в то же время, предельный крутящий момент таких колес ниже, чем косозубых и шевронных.

Косозубые колёса

Косозубые колёса являются усовершенствованным вариантом прямозубых. Их зубья располагаются под углом к оси вращения, а по форме образуют часть винтовой линии.

Достоинства косозубых колес:

• Зацепление таких колёс происходит плавнее, чем у прямозубых, и с меньшим шумом.
• Площадь контакта увеличена по сравнению с прямозубой передачей, таким образом, предельный крутящий момент, передаваемый зубчатой парой, тоже больше.

Недостатки косозубых колёс:

• При работе косозубого колеса возникает механическая сила, направленная вдоль оси, что вызывает необходимость применения для установки вала упорных подшипников;
• Увеличение площади трения зубьев (что вызывает дополнительные потери мощности на нагрев), которое компенсируется применением специальных смазок.

В целом, косозубые колёса применяются в механизмах, требующих передачи большого крутящего момента на высоких скоростях, либо имеющих жёсткие ограничения по шумности.

Шевронные колеса

Изобретение шевронной передачи часто приписывают Андре Ситроену, однако на самом деле он лишь выкупил патент на более совершенную схему, которую придумал польский механик-самоучка. Зубья таких колёс изготавливаются в виде буквы «V» (либо они получаются стыковкой двух косозубых колёс со встречным расположением зубьев). Передачи, основанные на таких зубчатых колёсах, обычно называют «шевронными».

Шевронные колёса решают проблему осевой силы. Осевые силы обеих половин такого колеса взаимно компенсируются, поэтому отпадает необходимость в установке валов на упорные подшипники. При этом передача является самоустанавливающейся в осевом направлении, по причине чего в редукторах с шевронными колесами один из валов устанавливают на плавающих опорах (как правило — на подшипниках с короткими цилиндрическими роликами).

Зубчатые колёса с внутренним зацеплением

При жёстких ограничениях на габариты, в планетарных механизмах, в шестерённых насосах с внутренним зацеплением, в приводе башни танка, применяют колёса с зубчатым венцом, нарезанным с внутренней стороны. Вращение ведущего и ведомого колеса совершается в одну сторону. В такой передаче меньше потери на трение, то есть выше КПД.

Секторные колёса

Секторное колесо представляет собой часть обычного колеса любого типа. Такие колёса применяются в тех случаях, когда не требуется вращение звена на полный оборот, и поэтому можно сэкономить на его габаритах.

Колёса с круговыми зубьями

Передача на основе колёс с круговыми зубьями имеет ещё более высокие ходовые качества, чем косозубые — высокую нагрузочную способность зацепления, высокую плавность и бесшумность работы. Однако они ограничены в применении сниженными, при тех же условиях, КПД и ресурсом работы, такие колёса заметно сложнее в производстве. Линия зубьев у них представляет собой окружность радиуса, подбираемого под определённые требования. Контакт поверхностей зубьев происходит в одной точке на линии зацепления, расположенной параллельно осям колёс.

Конические зубчатые колёса

Во многих машинах осуществление требуемых движений механизма связано с необходимостью передать вращение с одного вала на другой при условии, что оси этих валов пересекаются. В таких случаях применяют коническую зубчатую передачу. Различают виды конических колёс, отличающихся по форме линий зубьев: с прямыми, тангенциальными, круговыми и криволинейными зубьями. Конические колёса с круговым зубом, например, применяются в автомобильных главных передачах коробки передач.

Реечная передача (кремальера)

Реечная передача (кремальера) — один из видов механических передач, преобразующий вращательное движение ведущей шестерни в поступательное движение рейки. Используется в рулевом управлении большинства переднеприводных легковых автомобилей. Реечная передача (кремальера) применяется в тех случаях, когда необходимо преобразовать вращательное движение в поступательное и обратно. Состоит из обычной прямозубой шестерни и зубчатой планки (рейки). Работа такого механизма показана на рисунке.

Зубчатая рейка представляет собой часть колеса с бесконечным радиусом делительной окружности. Поэтому делительная окружность, а также окружности вершин и впадин превращаются в параллельные прямые линии. Эвольвентный профиль рейки также принимает прямолинейное очертание. Такое свойство эвольвенты оказалось наиболее ценным при изготовлении зубчатых колёс. Также реечная передача применяется в зубчатой железной дороге.

Коронные колёса

Коронное колесо — особый вид колёс, зубья которых располагаются на боковой поверхности. Такое колесо, как правило, стыкуется с обычным прямозубым, либо с барабаном из стержней (цевочное колесо), как в башенных часах.

Другие виды

Зубчатые барабаны киноаппаратуры — предназначены для точного перемещения киноплёнки за перфорацию.

В отличие от обычных зубчатых колес, входящих в зацепление с другими колесами или зубчатыми профилями, зубчатые барабаны киноаппаратуры имеют шаг зубьев, выбранный в соответствии с шагом перфорации. Большинство таких барабанов имеет эвольвентный профиль зубьев, изготавливаемых по тем же технологиям, что и в остальных зубчатых колесах.

Изготовление зубчатых колёс

Существует несколько методов изготовления колес.

Метод обката

В настоящее время является наиболее технологичным, а поэтому и самым распространённым способом изготовления зубчатых колёс. При изготовлении зубчатых колёс могут применяться такие инструменты, как гребёнка, червячная фреза и долбяк.

Метод обката с применением гребёнки

Изготовление шестерни.
Изготовление зубчатого колеса.

Режущий инструмент, имеющий форму зубчатой рейки, называется гребёнкой. На одной стороне гребёнки по контуру её зубьев затачивается режущая кромка.

Заготовка накатываемого колеса совершает вращательное движение вокруг оси. Гребёнка совершает сложные перемещения, состоящие из поступательного движения перпендикулярно оси колеса и возвратно-поступательного движения (на анимации не показано), параллельного оси колеса для снятия стружки по всей ширине его обода. Относительное движение гребёнки и заготовки может быть и иным, например, заготовка может совершать прерывистое сложное движение обката, согласованное с движением резания гребёнки.

Заготовка и инструмент движутся на станке друг относительно друга так, как будто происходит зацепление профиля нарезаемых зубьев с исходным производящим контуром гребёнки.

Метод обката с применением червячной фрезы

Помимо гребёнки в качестве режущего инструмента применяют червячную фрезу. В этом случае между заготовкой и фрезой происходит червячное зацепление.

Метод обката с применением долбяка

Зубчатые колёса также долбят на зубодолбёжных станках с применением специальных долбяков.

Зубодолбёжный долбяк представляет собой зубчатое колесо, снабжённое режущими кромками. Поскольку срезать сразу весь слой металла обычно невозможно, обработка производится в несколько этапов.

При обработке инструмент совершает возвратно-поступательное движение относительно заготовки. После каждого двойного хода, заготовка и инструмент поворачиваются относительно своих осей на один шаг. Таким образом, инструмент и заготовка как бы «обкатываются» друг по другу. После того, как заготовка сделает полный оборот, долбяк совершает движение подачи к заготовке. Этот процесс происходит до тех пор, пока не будет удалён весь необходимый слой металла.

Литейная форма для бронзового храпового колеса (Китай, династия Хань. (206 до н. э. — 220 н. э.)).

Метод копирования (Метод деления)

Дисковой или пальцевой фрезой нарезается одна впадина зубчатого колеса. Режущая кромка инструмента имеет форму этой впадины. После нарезания одной впадины заготовка поворачивается на один угловой шаг при помощи делительного устройства, операция резания повторяется.

Метод применялся в начале XX века. Недостаток метода состоит в низкой точности: впадины изготовленного таким методом колеса сильно отличаются друг от друга.

Горячее и холодное накатывание

Процесс основан на последовательной деформации нагретого до пластического состояния слоя определенной глубины заготовки зубонакатным инструментом. При этом сочетаются индукционный нагрев поверхностного слоя заготовки на определенную глубину, пластическая деформация нагретого слоя заготовки для образования зубьев и обкатка образованных зубьев для получения заданной формы и точности.

Изготовление конических колёс

Технология изготовления конических колёс теснейшим образом связана с геометрией боковых поверхностей и профилей зубьев.

Способ копирования фасонного профиля инструмента для образования профиля на коническом колесе не может быть использован, так как размеры впадины конического колеса изменяются по мере приближения к вершине конуса. В связи с этим такие инструменты, как модульная дисковая фреза, пальцевая фреза, фасонный шлифовальный круг, можно использовать только для черновой прорезки впадин или для образования впадин колёс не выше восьмой степени точности.

Для нарезания более точных конических колёс используют способ обкатки в станочном зацеплении нарезаемой заготовки с воображаемым производящим колесом. Боковые поверхности производящего колеса образуются за счёт движения режущих кромок инструмента в процессе главного движения резания, обеспечивающего срезание припуска. Преимущественное распространение получили инструменты с прямолинейным лезвием. При прямолинейном главном движении прямолинейное лезвие образует плоскую производящую поверхность. Такая поверхность не может образовать эвольвентную коническую поверхность со сферическими эвольвентными профилями. Получаемые сопряжённые конические поверхности, отличающиеся от эвольвентных поверхностей, называют квазиэвольвентными.

Моделирование

Ошибки при проектировании зубчатых колёс

Зуб, подрезанный у основания.

Подрезание зуба

Согласно свойствам эвольвентного зацепления, прямолинейная часть исходного производящего контура зубчатой рейки и эвольвентная часть профиля зуба нарезаемого колеса касаются только на линии станочного зацепления. За пределами этой линии исходный производящий контур пересекает эвольвентный профиль зуба колеса, что приводит к подрезанию зуба у основания, а впадина между зубьями нарезаемого колеса получается более широкой.

Подрезание уменьшает эвольвентную часть профиля зуба (что приводит к сокращению продолжительности зацепления каждой пары зубьев проектируемой передачи) и ослабляет зуб в его опасном сечении. Поэтому подрезание недопустимо. Чтобы подрезания не происходило, на конструкцию колеса накладываются геометрические ограничения, из которых определяется минимальное число зубьев, при котором они не будут подрезаны. Для стандартного инструмента это число равняется 17. Также подрезания можно избежать, применив способ изготовления зубчатых колёс, отличный от способа обкатки. Однако и в этом случае условия минимального числа зубьев нужно обязательно соблюдать, иначе впадины между зубьями меньшего колеса получатся столь тесными, что зубьям большего колеса изготовленной передачи будет недостаточно места для их движения и передача заклинится.

Для уменьшения габаритных размеров зубчатых передач колёса следует проектировать с малым числом зубьев. Поэтому при числе зубьев меньше 17, чтобы не происходило подрезания, колёса должны быть изготовлены со смещением инструмента — увеличением расстояния между инструментом и заготовкой.

Заострение зуба

Компьютерная модель зубчатой передачи (см. нанотехнологии)

При увеличении смещения инструмента толщина зуба будет уменьшаться. Это приводит к заострению зубьев. Опасность заострения особенно велика у колёс с малым числом зубьев (менее 17).

Для предотвращения скалывания вершины заострённого зуба смещение инструмента ограничивают сверху.

Источники:

https://pandia.ru/text/77/368/92255.php
https://velofans.ru/vibor/velosipednye-zvezdochki
https://stankiexpert.ru/tehnologii/modul-zubev-zubchatogo-kolesa.html
https://shesternimsk.ru/shesterni-zubchatie-zaceplenija-izgotovlemie-shesterni/