За 5 часов велосипедист проехал 70 км за какое время

ГДЗ Математика 3 класс учебник 3 часть Петерсон. Решебник с ответами ✔

с.40
УМК «Школа 2000» и линейка учебников для программы «Перспектива» — математика третий класс автора Петерсон. На этой странице готовые домашние задания к третьей и заключительной в этом учебном году части учебника.

Начнем новый учебник с решения задач на движение, разберем совершенно разные задачи на эту тему, опережая все другие учебники, в которых задачи на движение разбираются годом позже. Продолжим тренироваться в решении уравнений, так же вперед всех остальных учебников. Ребята, которые учатся по Петерсон, попрактикуются не только хорошо решать уравнения уже в третьем классе, что пригодится на уроках математики до самых старших классов, но и научатся логически мыслить, о чем мы неоднократно писали в анонсах к учебникам Петерсон.

А если у детей и родителей возникли проблемы с домашним заданием по математике, 7 гуру к вашим услугам. У нас в решебнике вы можете посмотреть правильные ответы, а если что-то не понятно, спросить в комментариях, мы постараемся разьяснить.

Пишите, какую страницу сейчас проходите.

Ответы к учебнику математики Петерсон 3 класс 3 часть:

Кликайте по номерам страниц, чтобы выбрать нужную.

с.40
УМК «Школа 2000» и линейка учебников для программы «Перспектива» — математика третий класс автора Петерсон. На этой странице готовые домашние задания к третьей и заключительной в этом учебном году части учебника.

Начнем новый учебник с решения задач на движение, разберем совершенно разные задачи на эту тему, опережая все другие учебники, в которых задачи на движение разбираются годом позже. Продолжим тренироваться в решении уравнений, так же вперед всех остальных учебников. Ребята, которые учатся по Петерсон, попрактикуются не только хорошо решать уравнения уже в третьем классе, что пригодится на уроках математики до самых старших классов, но и научатся логически мыслить, о чем мы неоднократно писали в анонсах к учебникам Петерсон.

А если у детей и родителей возникли проблемы с домашним заданием по математике, 7 гуру к вашим услугам. У нас в решебнике вы можете посмотреть правильные ответы, а если что-то не понятно, спросить в комментариях, мы постараемся разьяснить.

Пишите, какую страницу сейчас проходите.

Ответы к учебнику математики Петерсон 3 класс 3 часть:

Кликайте по номерам страниц, чтобы выбрать нужную.

Страница 3

1. Миша прошёл на лыжах расстояние 80 м за 20 с, а Игорь – 45 м за 15 с. Кто из них прошёл большее расстояние, а кто – меньшее?

Большее расстояние прошел Миша 80 > 45

Кто шёл больше времени, а кто – меньше?

Кто шёл быстрее, а кто – медленнее?

80 : 20 = 4 м/с шел Миша
45 :15 = 3 м/с шел Игорь.
Миша шел быстрее 4 > 3.

Какие величины характеризуют движение объектов?

2. Объясни смысл предложений:

а) Самолёт летит со скоростью 800 км/ч.

Самолет пролетает за час 800 км.

б) Скорость теплохода 45 км/ч.

Теплоход проплывает за час 45 км.

в) Человек идёт со скоростью 4 км/ч.

Человек проходит за час 4 км.

г) Земля движется по орбите со скоростью 30 км/с.

Земля пролетает по орбите 30 км в секунду.

д) Черепаха ползёт со скоростью 4 м/мин.

Черепаха за минуту проползает 4 метра.

Страница 4

а) Скорость космического корабля, если он пролетел 56 км за 8 с.

б) Скорость плота на реке, если он за 4 ч проплыл 16 км.

в) Скорость автобуса, если он прошёл 120 км за 3 ч.

г) Скорость велосипедиста, если он проехал 36 км за 2 ч.

4. Найди карточки, на которых указана скорость:

а) самолёта; б) поезда; в) автомобиля; г) пешехода; д) велосипедиста; е) ракеты. 6 км/с

а) самолёта — 900 км/ч
б) поезда — 60 км/ч
в) автомобиля — 90 км/ч
г) пешехода — 5 км/ч
д) велосипедиста — 20 км/ч
е) ракеты — 6 км/с

Сделай по желанию рисунок и подпиши значение скорости.

5. а) Поезд прошёл 224 км за 4 часа. Его скорость в 3 раза меньше скорости вертолёта. Чему равна скорость вертолёта?

1) 224 : 4 = 56 (км/ч) — скорость поезда.
2) 56 * 3 = 168 (км/ч) — скорость вертолета.
Ответ: 168 км/ч.

б) Плот проплыл 27 км за 9 ч, а моторная лодка – 24 км за 2 ч. Чья скорость больше и на сколько?

1) 27 : 9 = 3 (км/ч) — скорость плота.
2) 24 : 2 = 12 (км/ч) — скорость моторной лодки.
3) 12 — 3 = 9 (км) — на столько скорость моторной лодки больше плота.
Ответ: на 9 км/ч.

6. а) Грузовая машина за 8 ч прошла 280 км, а легковая машина это же расстояние – за 4 ч. Во сколько раз скорость грузовой машины меньше скорости легковой?

1) 280 : 8=35 (км/ч) — скорость грузовой машины
2) 280 : 4=70 (км/ч) — скорость легковой машины
3) 70 : 35=2 (р.) — скорость грузовой машины во столько меньше
Ответ: в 2 раза.

б) Велосипедист за 3 ч проехал 57 км, а мотоциклист за 2 ч проехал на 71 км больше. На сколько километров в час скорость велосипедиста меньше скорости мотоциклиста?

1) 57 : 3 = 19 (км/ч) — скорость велосипедиста.
2) 57 + 71 = 128 (км) — проехал мотоциклист.
3)128 : 2 = 64 (км/ч) — скорость мотоциклиста.
4) 64 — 19 = 45 (км/ч) — на столько скорость велосипедиста меньше скорости мотоциклиста.
Ответ: на 45 км/ч.

7. Реши уравнения с комментированием и сделай проверку:

а) (40 • x) : 10 = 28
40 * х = 28 * 10
х = 280 : 40
х = 7
Проверка:
(40 * 7) : 10 28

б) y : 9 – 28 = 32
у : 9 = 32 + 28
у = 60 * 9
у = 540
Проверка:
540 : 9 – 28 = 32

в) 39 + 490 : k = 46
490 : к = 46 — 39
490 : к = 7
к = 490 : 7
к = 70
Проверка:
39 + 490 : 7 = 46

8. Выполни действия и сделай проверку:

а) 547 923 + 83 699 221 = 84 247 144
Проверка:
84 247 144 — 547 923 = 83 699 221

б) 4 758 036 – 50 854 = 4 707 182
Проверка:
4 707 182 + 50 854 = 4 758 036

в) 90 560 • 200 = 18 112 000
Проверка:
18 112 000 : 200 = 90 560

г) 3 027 600 : 6 = 504 600
Проверка:
504 600 * 6 = 3 027 600

9. По двору ходили гуси. Всего у них было 22 ноги. Подошли 3 утёнка и 4 козлёнка. Сколько ног гуляет теперь по двору?

1) 3 * 2 = 6 (ног) − у утят;
2) 4 * 4 = 16 (ног) − у козлят;
3) 22 + 6 + 16 = 28 + 16 = 44 (ноги) − гуляет по двору.
Ответ: 44 ноги.

Страница 5

1. Прочитай формулы. Что они означают? Какие ещё формулы ты знаешь?

S = a • b — формула для вычисления площади
P = (a + b) • 2 — формула для вычисления периметра
V = a • b • c — формула для вычисления объема
a = b • c + r

Зачем нужны формулы и как их устанавливают?

Формулы нужны для вычисления значений.

2. Аэросани едут со скоростью v = 45 км/ч. Построй в тетради числовой луч и покажи на нём движение саней*.

Какое расстояние преодолеют аэросани за 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч, t ч?

Составь и заполни в тетради таблицу. Напиши формулу, выражающую зависимость пройденного расстояния s от времени t.

3. Проанализируй решение предыдущей задачи. Установи, как найти расстояние s, пройденное объектом, если он двигался со скоростью v в течение времени t.

Из формулы пути по правилу нахождения неизвестного множителя следует, что:

v = s : t t = s : v

Скорость равна расстоянию, делённому на время движения.• Время движения равно расстоянию, делённому на скорость.

Страница 6

4. Найди неизвестные значения величин по формуле пути s = v • t:

5. Реши задачи по формуле пути s = v • t:

а) Всадник едет со скоростью 8 км/ч. Какое расстояние он проедет за 4 часа?

1) 8 * 4 = 32 (км) — всадник проедет за 4 часа.
Ответ: 32 км.

б) Чему равна скорость почтового голубя, если за 2 ч он пролетает 120 км?

1) 120 : 2 = 60 (км/ч) — скорость почтового голубя.
Ответ: 60 км/ч

в) Пчела летит со скоростью 6 м/с. За какое время она долетит до улья, если находится на расстоянии 360 м от него?

1) 360 : 6 = 60 (с) — надо пчеле, чтобы пчела долетела до улья
Ответ: 60 секунд.

6. Между городом и деревней 250 км. Машина выехала из города в 10 часов утра и прибыла в деревню в 3 часа дня. С какой скоростью она ехала?

1) 15 — 10 = 5 (ч) — ехала машина.
2) 250 : 5 = 50 (км/ч) — с такой скоростью ехала машина.
Ответ: 50 км/ч.

7. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Длина аквариума – 50 см, ширина – 35 см, а высота – 40 см. Его боковые стенки стеклянные. Определи площадь поверхности стекла и объём аквариума.

1) 50 * 35 * 40 = 70 000 (см 3 ) — объем аквариума.
2) 50 * 40 * 2 + 35 * 40 * 2 + 35 * 50 = 2000 * 2 + 1400 * 2 + 1750 = 4000 + 2800 + 1750 = 8 550 (см 2 ) — площадь стеклянных стенок аквариума.
Ответ: 8 550 см 2 площадь стенок и 70 000 см 3 объем аквариума.

8. Реши уравнения с комментированием и сделай проверку:

б) 400 : b – 32 = 48
400 : b = 32 + 48
b = 400 : 80
b = 5

в) 250 + 9 • c = 520
9 * с = 520 — 250
с = 270 : 9
с = 30

9. Запиши множество делителей и множество кратных числа 11 *.

10. Составь программу действий и вычисли:

1 3 5 4 2
а) (63 200 856 – 4 916 321) : 1 + 8 006 512 • (36 – 36) = 58 284 535

1) 63 200 856 – 4 916 321 = 58 284 535
2) 36 — 36 = 0
3) 58 284 535 : 1 = 58 284 535
4) 8 006 512 * 0 = 0
5) 58 284 535 + 0 = 58 284 535

2 4 3 1
б) 1 • 7 007 503 – 29 867 • (387 915 : 387 915) = 6 977 636

1) 387 915 : 387 915 = 1
2) 1 • 7 007 503 = 7 007 503
3) 29 867 • 1 = 29 867
4) 7 007 503 — 29 867 = 6 977 636

11. а) Сколько полных недель в високосном году? Сколько ещё остаётся дней?

366 : 7 = 52 (ост.2) − значит 52 полных недель в високосном году и 2 дня останется;

А в простом году?

365 : 7 = 52 (ост.1) − значит 52 полных недель в простом году и 1 день останется.

б) В году 365 дней, из них 53 вторника. Какой день недели был 1 января этого года?

Так как в году 52 недели, а в обычном году 52 недели и 1 день, значит 1 января был вторником. Иначе в году не могло бы быть 53 вторника.
Ответ: вторник.

Страница 7

1. Назови величины, характеризующие движение объектов. Объясни смысл предложений:

а) Скорость воробья примерно 40 км/ч.

Воробей пролетает 40 км за 1 час

б) Самая быстрая в мире птица сапсан способна развивать скорость до 200 км/ч.

Сапсан может летать со скоростью 200 км в час

в) Африканский страус не может летать, зато разгоняется до 72 км/ч.

Страус может бегать со скоростью 72 км в час

г) Меч-рыба плывёт со скоростью 100 км/ч.

Меч — рыба проплывает 100 км в час

2. Используя формулу пути s = v • t, найди неизвестные значения величин:

3. По реке плывёт плот со скоростью v = 2 км/ч. Построй в тетради числовой луч и покажи на нём движение плота.

Какое расстояние пройдёт плот за 1 ч, 3 ч, 5 ч, 7 ч, t ч? Составь и заполни в тетради таблицу. Напиши формулу, выражающую зависимость пройденного расстояния s от времени t.

4. а) Космический корабль летит со скоростью 9 км/с. За какое время он пролетит 441 км?

441 : 9 = 49 (с) — за это время пролетит 441 км.
Ответ: 49 с.

б) Сколько метров проплывёт окунь за 8 мин, если будет плыть со скоростью 80 м/мин?

80 * 8 = 640 (м) — проплывет окунь.
Ответ: 640 метров.

в) Подводная лодка проплыла 228 км за 6 ч. Чему равна её скорость?

228 : 6 = 38 (км/ч) — скорость подводной лодки.
Ответ: 38 км.

г) Улитка ползёт со скоростью 5 м/ч. За какое время она проползёт 35 м?

35 : 5 = 7 (ч) — улитка проползет 35 м
Ответ: 7 часов.

Страница 8

5. Составь программу действий и вычисли:

7 1 5 2 8 6 4 3
а) 50 – (600 • 3) : (4 • 25) – 5 • (40 – 7 • 5) = 7

1) 600 • 3 = 1800
2) 4 • 25 = 100
3) 7 * 5 = 35
4) 40 — 35 = 5
5) 1800 : 100 = 18
6) 5 * 5 = 25
7) 50 — 18 = 32
8) 32 — 25 = 7

1 3 2 7 9 4 6 5 8
б) (80 • 8 + 420 : 7) : 100 + (140 : 20 + 38 : 19) • 3 = 34

1) 80 • 8 = 640
2) 420 : 7 = 60
3) 640 + 60 = 700
4) 140 : 20 = 7
5) 38 : 19 = 2
6) 7 + 2 = 9
7) 700 : 100 = 7
8) 9 * 3 = 27
9) 7 + 27 = 34

6. Определи по спидометру скорость движения каждой машины:

легковой автомобиль 100 км/ч
автобус 90 км/ч
грузовик 50 км/ч

7. Придумай задачу, в которой надо найти скорость по известному расстоянию и времени, и реши её

Самолет пролетел 1420 км за 2 часа. С какой скоростью летел самолет?

Решение:
1420 : 2 = 710 (км/ч) скорость самолета.
Ответ: 710 км/ч

5 ч 6 мин > 56 мин
108 мин > 1 ч 8 мин

9 мин 20 с = 560 с
734 с > 7 мин 34 с

1 сут. 15 ч < 115 ч
206 ч > 2 сут. 6 ч

9. Реши уравнения с комментированием и сделай проверку:

а) (780 – m • 60) : 6 = 70
780 – m • 60 = 70 * 60
m * 60 = 780 — 420
m = 360 : 60
m = 6

б) 640 : (x • 9 + 8) = 8
x • 9 + 8 = 640 : 8
x * 9 = 80 — 8
x = 72 : 9
х = 8

10. Запиши множество делителей и множество кратных числа 12.

11. По диаграмме Эйлера–Венна определи, из каких элементов состоят множества A и B. Запиши эти множества с помощью фигурных скобок. Найди их пересечение и объединение.

12. Летела стая гусей, а навстречу им гусак.
– Здравствуйте, 20 гусей!
– Нет, нас не 20. Если б нас было в 2 раза больше, да ещё 3 гуся, да ещё ты с нами, тогда нас было бы 20. Сколько было гусей?

Составим уравнение.
x * 2 + 3 + 1 = 20
x * 2 + 4 = 20
x * 2 = 20 — 4
x * 2 = 16
x = 8
Ответ: 8 гусей.

Страница 9

1. а) Из Москвы в Селижарово выехал автобус со скоростью 60 км/ч. Построй числовой луч и покажи на нём движение автобуса.

Какое расстояние прошёл автобус за 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч, 5 ч, 6 ч, t ч?

Через какое время он приедет в Селижарово? Составь и заполни таблицу. Напиши формулу зависимости пройденного расстояния s от времени t.

б) Проанализируй решение предыдущей задачи. Объясни, как можно построить формулу зависимости одной величины от другой.

2. Расстояние между двумя городами 180 км. С какой скоростью надо ехать, чтобы преодолеть это рас-стояние за 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч, t ч? Построй формулу зависимости скорости движения v от времени t.

v = 180 : t Все значения для этой формулы приведены в таблице.

Страница 10

3. Какое расстояние пройдёт поезд за 5 ч, если движется со скоростью 70 км/ч, 82 км/ч, 90 км/ч, 100 км/ч, v км/ч? Составь формулу зависимости расстояния s от скорости v.

Результаты можно записать в таблице

4. Сколько времени потребуется велосипедисту, чтобы проехать 60 км, если скорость его движения 10 км/ч, 12 км/ч, 15 км/ч, 20 км/ч, v км/ч? Составь формулу зависимости времени t от скорости v.

Результаты можно записать в таблице

5. а) Расстояние между двумя пристанями 160 км. Может ли катер пройти это расстояние за 9 ч, если будет идти со скоростью 18 км/ч?

18 * 9 = 162 (км) — пройдет катер за 9 часов.
162 > 160 — да сможет пройти 160 км за 9 часов.
Ответ: сможет.

б) От Сашиного дома до школы 1 км. Успеет ли он прийти в школу за 15 мин, если будет идти со скоростью 80 м/мин?

15 * 80 = 1200 (м) — пройдет Саша за 15 минут.
1200 > 1000
Ответ: сможет.

6. Реши уравнения с комментированием и сделай проверку:

а) 14 – 360 : x = 8
360 : х = 14 — 8
х = 360 : 6
х = 60
Проверка:
14 – 360 : 60 = 8
8 = 8

б) (450 : y + 50) : 70 = 2
450 : y + 50 = 140
450 : y = 90
у = 450 : 90
у = 5
Проверка:
(450 : 5 + 50) : 70 = 2
2 = 2

в) (3 • z + 160) : 7 = 40
3 • z + 160 = 40 * 7
3 • z = 280 — 160
3 • z = 120
z = 40
Проверка:
(3 • 40 + 160) : 7 = 40
40 = 40

7. Запиши множество делителей и множество кратных числа 13.

8. Найди пропущенные цифры. Проверь с помощью калькулятора.

Сделай проверку, выполнив обратные действия.

х 63590
800
50872000

9. Кате надо было разделить число 48 236 на 8. У неё получилось частное 629 и остаток 2. Проверь её вычисления с помощью формулы деления с остатком. Найди ошибку и выполни деление правильно.

Проверка: 8 * 6029 + 4 = 48 236

10. Найди частное и остаток при делении:

а) числа 14 на число 5;

б) числа 6 на число 3;

в) числа 2 на число 3. Обоснуй свой ответ, пользуясь формулой деления с остатком.

11. Выполни действия и сделай проверку:

а) 483 567 823 + 998 430 в) 37 090 • 6000
б) 2 666 990 000 – 89 607 787 г) 210 040 000 : 500

в)
х37090
6000
222540000

б)
_2666990000
89607787
2577382213

г) 210 040 000 : 500 = 2100400 : 5 = 420 080

12. Что дольше длится:

а) 1 сутки или 1000 минут;

60 * 24 = 1440 (мин.) в сутках
дольше длятся 1 сутки

б) 1 месяц или 1000 часов;

24 *30 = 720 (ч.) длится месяц в часах
дольше 1000 часов, чем 1 месяц

в) 1 000 000 секунд или 1 год?

60*60*24*365 = 31 536 000 секунд в году
дольше 1 год

Страница 11

1. а) На числовом луче показано движение велосипедиста. Объясни, откуда он выехал. Куда и с какой скоростью он едет? В какой точке числового луча он был через 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч? Сколько времени он затратил на весь путь?

Выехал из населенного пункта Петушки. Едет со скоростью 15 км/ч. Черех час — отметка 60 км, через 2 часа — 45 км, через 3 часа — 30 км, через 4 часа — 15 км. На весь путь от затратил 6 часов до Ромашково.

б) Пусть s – путь, который проехал велосипедист, d – его расстояние до Ромашково и D – расстояние до Горок. Как изменяются d и D в зависимости от времени t – уменьшаются или увеличиваются?

D — увеличивается, d — уменьшается.

в) Заполни таблицу. Запиши формулу зависимости каждой из величин s, d, D от времени движения t.

2. а) Определи по рисунку, откуда вышел турист, куда и с какой скоростью он идёт. Построй в тетради числовой луч и покажи на нём движение туриста.

Вышел с Турбазы и идет в населенный пункт Икша. Идет со скоростью 3 км/ч. Построй луч в тетради как в учебнике.

б) Пусть s км – путь, пройденный туристом, d км – расстояние между туристом и Москвой, D км – расстояние до Икши. Заполни таблицу. Запиши формулу зависимости каждой из величин s, d, D от времени движения t.

Страница 12

3. Расстояние от деревни до станции 40 км. Всадник едет из деревни на станцию со скоростью 14 км/ч. Успеет ли он доскакать до станции за 3 часа?

3 * 14 = 42 (км) — может проехать всадник за 3 часа.
42 > 40
Ответ: сможет.

4. Туристы решили пройти за день 30 км. Они уже прошли 3 ч со скоростью 6 км/ч. Какое расстояние им осталось пройти? За какое время они пройдут это расстояние, двигаясь с прежней скоростью?

1) 3 * 6 = 18 (км) — прошли туристы.
2) 30 — 18 = 12 (км) — осталось пройти.
3) 12 : 6 = 2 (ч) — еще надо туристам.
Ответ: Осталось пройти 12 км. пройдут за 2 часа.

а) Маша прошла n км. Чему равна её скорость, если она затратила на путь k часов?

б) Лена шла a ч со скоростью b км/ч. Какое расстояние она прошла за это время?

в) Витя пробежал x метров за 5 мин, а Саша – за 6 мин. У кого из них скорость больше и на сколько?

У Саши скорость больше на столько м/мин
(x : 5) — (x : 6)

6. Какие свойства сложения и вычитания выражают данные равенства? Объясни их смысл, используя графические модели.

1) a – (b + c) = (a – b) – c = (a – c) – b
2) (a + b) – c = (a – c) + b = a + (b – c)

7. Вычисли наиболее удобным способом:

а) 894 – (294 + 80) = (894 — 294) + 80 = 600 + 80 = 680
б) 715 – 99 – 101 = 715 — (99 + 101) = 515
в) (586 + 245) – 486 = (586 — 486) + 245 = 345
г) (324 + 498) – 298 = 324 + (498 — 298) = 524
д) 232 – (95 + 132) = 232 — 132 — 95 = 100 — 95 = 5
е) (629 + 56) – 629 = (629 — 629) + 56 = 56

8. Реши уравнения с комментированием и сделай проверку:

а) (a • 80) : 4 = 120
a • 80 = 120 * 4
a = 480 : 80
а = 6
Проверка:
(6 • 80) : 4 = 120
120 = 120

б) 9 • (560 : b – 5) = 27
560 : b – 5 = 27 : 9
560 : b = 3 + 5
b = 560 : 8
b = 70
Проверка:
9 • (560 : 70 – 5) = 27
27 = 27

в) (14 – c) • 4 – 9 = 19
(14 – c) • 4 = 28
14 – c = 28 : 4
с = 14 — 7
с = 7
Проверка:
(14 – 7) • 4 – 9 = 19
19 = 19

9. Составь программу действий и вычисли:

1 2 5 3 4
а) (6 543 508 + 34 592) : 9 – 700 900 • 70 : 100 = 240270

1) 6543508 + 34592 = 6578100
2) 6578100 : 9 = 730900
3) 700900 * 70 = 49063000
4) 49063000 : 100 = 490630
5) 730900 — 490630 = 240270

4 1 2 3 5
б) 81 650 204 – (54 867 + 295 • 60) : 9 + 2 989 685 = 84631826

1) 295 * 60=17700
2) 54867 + 17700=72567
3) 72567 : 9=8063
4) 81650204 — 8063=81642141
5) 81642141 + 2989685=84631826

10. 1 января 2018 года было понедельником. Каким днём недели будет 1 января 2019 года, 1 января 2020 года, 1 января 2021 года?

1 января 2019 года — это вторник, 1 января 2020 года — среда, 1 января 2021 года — пятница. Дни идут по порядку, кроме 1 января 2021? Потому, что 2020 является високосным годом — в нём 366 дней (добавляется 29 февраля).

Страница 13

1. а) Определи по рисунку, из какого города вышел поезд. Куда и с какой скоростью он идёт? Построй числовой луч и покажи на нём движение поезда.

Едет из Москвы в Вологду, со скоростью 80 км/ч. Строим луч как в учебнике.

б) Пусть s – путь, который прошёл поезд, d – его расстояние до Вологды, D – расстояние до Калуги. Заполни таблицу. Запиши формулы зависимостей каждой из величин s, d, D от времени движения t.

2. а) Определи по рисунку, из какого города выехал автобус. Куда и с какой скоростью он едет? Построй числовой луч и покажи на нём движение автобуса.

Едет из Москвы в Брянск, со скоростью 60 км/ч.

б) Пусть s – путь, который прошёл автобус, d – его расстояние до Брянска, D – расстояние до Воронежа. Заполни таблицу. Запиши формулы зависимостей каждой из величин s, d, D от времени движения t.

3. Выполни действия. Проверь результаты с помощью калькулятора.

+181048
49237
230285

в) 700 • 209 530 = 146 671 000

х209530
700
146671000

б) 6 080 010 – 5 550 481 = 529 529

— 6080010
5550481
529529

г) 60 002 400 : 80 = 6000240 : 8 = 750 030

Страница 14

4. Расстояние от посёлка Солнечное до Тучково 18 км, а от Тучково до Маросейкино – в 4 раза больше. Автобус едет из Солнечного в Маросейкино через Тучково со скоростью 45 км/ч. За какое время он проедет весь этот путь?

1) 4 * 18 = 72 (км) — от Тучково до Маросейкино
2) 18 + 72 = 90 (км) — от посёлка Солнечное до Маросейкино
3) 90 : 45 = 2 (ч) — он проедет весь путь
Ответ: 2 часа.

5. Стояка геологов находится на расстоянии 250 км от города. Чтобы добраться до стоянки, геологи сначала ехали из города 3 ч на машине со скоростью 72 км/ч, за тем 2 ч ехали на лошадях со скоростью 9 км/ч, а потом 4 ч шли пешком. С какой скоростью они шли пешком?

1) 3 * 72 = 216 (км) — проехали на машине.
2) 2 * 9 = 18 (км) — проехали на лошадях.
3) 216 + 18 = 16 (км) — шли пешком.
4) 16 : 4 = 4 (ч) — шли пешком.
Ответ: 4 часа.

6. Реши уравнения с комментированием:

а) 540 : (17 – x) = 60
17 – x = 540 : 60
17 – x = 9
х = 17 — 9
х = 8

б) (8 • y – 30) : 9 = 50
8 • y – 30 = 50 * 9
8 • y = 450 + 30
y = 480 : 8
у = 6

7. Выполни действия. Расположи ответы примеров в порядке возрастания и расшифруй имя героя книги. Кто это?

Л = 48756 + 192317 + 392 = 241073 + 392 = 241465

О = 9032016 − 8790560 = 241456

− 9032016
8790560
241456

А = 2705 * 800 = 2164000
х 2705
800
2164000

К = 50860 * 40 = 2034400

х 50850
40
2034400

В = 674814 : 7 = 96402

Ь = 7283700 : 9 = 809300

— 7283700 | 9
72 |809300
— 83
81
— 27
27
0

96402(В) > 241456(О) > 241465(Л) > 809300(Ь) > 2034400(К) > 2164000(А)

Ответ: ВОЛЬКА
* — Костыльков − герой повести-сказка «Старик Хоттабыч»

8. Запиши множество делителей и множество кратных числа 14.

9. A – множество остатков, которые могут получиться при делении на 5, а B – множество остатков, возможных при делении на 7.

а) Задай множества A и B перечислением и запиши элементы с помощью фигурных скобок.

б) Построй диаграмму Эйлера – Венна множеств A и B. Какое из множеств является подмножеством другого?

А является подмножеством В — A ⊂ B

в) Найди A ∩ B и A U B.

а) Расположи 6 элементов в двух множествах так, чтобы в каждом из них было по 5 элементов.

б) Приведи 4 своих варианта расположения 6 элементов в двух множествах.

Страница 15

1. Пчела Майя стала соединять формулы с их названиями. Все линии перепутались. Определи, правильно ли пчела Майя выполнила задание.
Какие ещё формулы ты знаешь?

a = b * q + r, r < b − формула деления с остатком;
P = a * 2 + b * 2 − формула периметра прямоугольника;
S = a * b − формула площади прямоугольника;
P = (a + b) * 2 − формула периметра прямоугольника;
V = a * b * c − формула объема прямоугольного параллелепипеда;
s = v * t − формула пути.
Ответ: Майя правильно выполнила задание.

2. Прочитай задачу и объясни, как составлена таблица:

«Заяц сначала бежал 2 ч со скоростью 24 км/ч, затем 3 ч ехал на велосипеде, а после этого 5 ч ехал на поезде со скоростью 48 км/ч. Всего заяц пробежал и проехал 357 км. С какой скоростью он ехал на велосипеде?»
Используя таблицу, ответь на вопросы:

а) Какой путь пробежал заяц за первые 2 ч?

б) Какой путь он проехал на поезде за последние 5 ч?

в) Какой путь проехал заяц на велосипеде за 3 ч?

г) С какой скоростью он ехал на велосипеде? Составь план решения задачи и запиши решение в тетради. Сделай вывод: как можно решить задачу с помощью таблицы?

План
1) Надо узнать какой путь он проехал на велосипеде, для этого из всего пути вычтем путь который он бежал и ехал на поезде.
2) Поделим путь на время (3 ч)
3) Узнаем скорость передвижения на велосипеде

1) 2 * 24 = 48 (км) — путь который пробежал.
2) 5 * 48 = 240 (км) — путь который проехал на поезде.
3) 357 — (240 + 48) = 69 (км) — путь, который проехал на велосипеде
4) 69 : 3 = 23 (км/ч) — скорость зайца на велосипеде.
Ответ: 23 км/ч.

3. Составь в тетради таблицы и реши задачи:

а) Вертолёт пролетает 840 км за 3 ч, а автомобиль проходит это же расстояние за 7 ч. Чья скорость больше и на сколько?

1) 840 : 3 = 280 (км/ч) — скорость вертолета.
2) 840 : 7 = 120 (км/ч) — скорость автомобиля.
3) 280 — 120 = 160 (км/ч) — на столько больше скорость вертолета, чем автомобиля.
Ответ: на 160 км/ч скорость вертолета больше, чем автомобиля.

б) Поезд проходит 320 км за 5 ч. Какое расстояние он пройдёт за 8 ч, двигаясь с этой же скоростью?

1) 320 : 5 = 64 (км/ч) — скорость поезда.
2) 64 * 8 = 512 (км) — проедет поезд за 8 часов.
Ответ: 512 км.

в) Караван верблюдов шёл в первый день 8 ч со скоростью 9 км/ч, во второй день – 6 ч со скоростью 8 км/ч, а в третий день – 9 ч со скоростью 7 км/ч. Какое расстояние прошёл караван за 3 дня?

1) 9 * 8 = 72 (км) — прошел караван в 1 день
2) 6 * 8 = 48 (км) — прошел караван во 2 день
3) 9 * 7 = 63 (км) — прошел караван в 3 день.
4) 72 + 48 + 63 = 183 (км) — прошел караван за 3 дня.
Ответ: 183 км.

4. Реши уравнения с комментированием и сделай проверку:

а) x • 7 – 80 = 340
x • 7 = 340 + 80
x = 420 : 7
х = 6
Проверка:
x • 6 – 80 = 340
340 = 340

б) (900 – y) : 9 = 80
900 – y = 80 * 9
у = 900 — 720
у = 180
Проверка:
(900 – 180) : 9 = 80
80 = 80

в) (350 : y + 10) • 7 = 560
350 : y + 10 = 560 : 7
350 : y = 80 — 10
у = 350 : 70
у = 5
Проверка:
(350 : 5 + 10) • 7 = 560
560 = 560

5. Прочитай числа и расположи их в порядке возрастания: 94 517, 3896, 3 002 650, 302 650, 32 650 Найди разность наибольшего и наименьшего из этих чисел.

94517 − девяносто четыре тысячи пятьсот семнадцать,
3896 − три тысячи восемьсот девяносто шесть,
3002650 − три миллиона две тысячи шестьсот пятьдесят,
32650 − тридцать две тысячи шестьсот пятьдесят.

3896 < 3650 < 94517 < 3002650

3002650 − 3896 = 2998754

Страница 17

6. 1) Запиши число 40 560 в виде суммы разрядных слагаемых.

2) Сколько единиц в разряде сотен числа 40 560?

5 единиц в разряде сотен числа 40560.

Сколько всего сотен в этом числе?

Всего 405 сотен в чисел 40560

а) в сотнях и единицах;

б) в тысячах и единицах.

3) Вырази величины в указанных единицах измерения:

а)
40560 м = 40 км 560 м;
40560 мм = 40 м 560 мм;
40560 мм = 405 дм 60 мм.
б)
40560 кг = 40 т 560 кг;
40560 кг = 405 ц 60 кг;
40560 г = 40 кг 560 г.

7. Найди пропущенные цифры при делении с остатком углом. Сделай проверку по формуле деления с остатком: a = b • c + r, r < b.

711842 : 9 = 79093 (ост.5)
Проверка: 79093 * 9 + 5 = 711837 + 5 = 711842

40715 : 8 = 5089 (ост.3)
Проверка: 5089 * 8 + 3 = 40712 + 3 = 40715

8. Запиши множество делителей и множество кратных числа 15.

9. Расшифруй имя славного защитника Руси. Что ты о нём знаешь?

У = 247 + 53 = 300
+247
53
300

О = 400 − 265 = 135
−400
265
135

Ь = 218 + 26 = 244
+218
26
244

Л = 325 − 43 = 282
−325
43
282

Я = 350 : 7 * 8 = 50 * 8 = 400;

Ц = 9 * 4 + 82 = 36 + 82 = 118;

К = 172 − 72 : 4 = 172 − 18 = 154

Е = 567 − 60 * 4 = 567 − 240 = 327
−567
240
327

И = (320 : 40) * 8 = 8 * 8 = 64;

Т = 900 : (25 * 6) = 900 : 150 = 6;

М = 90 * 2 : 30 * 70 = 180 : 30 * 70 = 6 * 70 = 420.

Ответ: ИЛЬЯ МУРОМЕЦ − один из главных героев былинного эпоса, русский богатырь.

10. В каком квартале года наибольшее число дней, а в каком – наименьшее? Рассмотри случаи високосного и невисокосного года

I квартал:
Январь − 31 день;
Февраль − 28 дней (в високосном году 29 дней);
Март − 31 день.
31 + 28 + 31 = 59 + 31 = 90 (дней) − в первом квартале в обычном году;
31 + 29 + 31 = 60 + 31 = 91 (день) − в первом квартале в високосном году.

II квартал:
Апрель − 30 дней;
Май − 31 день;
Июнь − 30 дней.
30 + 31 + 30 = 61 + 30 = 91 (день) − во втором квартале.

III квартал:
Июль − 31 день;
Август − 31 день;
Сентябрь − 30 дней.
31 + 31 + 30 = 62 + 30 = 92 (дня) − в третьем квартале.

IV квартал:
Октябрь − 31 день;
Ноябрь − 30 дней;
Декабрь − 31 день.
31 + 30 + 31 = 61 + 31 = 92 (дня) − в четвертом квартале.

Обычный год:
больше всего дней в III и IV кварталах (по 92 дня);
меньше всего дней в I квартале (90 дней).

Високосный год:
больше всего дней в III и IV кварталах (по 92 дня);
меньше всего дней в I и II кварталах (по 91 дню).

Страница 18

1. а) Ира прошла 320 м за 5 мин, а Петя – 225 м за 3 мин. У кого из ребят скорость больше и на сколько?

1) 320 : 5 = 64 (м/мин) — скорость Иры.
2) 225 : 3 = 75 (м/мин) — скорость Пети.
3) 75 — 64 = 11 (м/мин) — скорость Пети больше, чем Иры.
Ответ: на 11 м/мин.

б) Орёл за 9 с пролетел 270 м, а сокол за это же время пролетел 189 м. На сколько метров в секунду скорость сокола меньше скорости орла?

1) 270 : 9 = 30 (м/с) − скорость орла;
2) 189 : 9 = 21 (м/с) − скорость сокола;
3) 30 − 21 = 9 (м/с) − скорость сокола меньше скорости орла.
Ответ: на 9 м/с

в) Первый лыжник за 3 ч пробежал 51 км, а второй лыжник за это же время пробежал на 6 км больше. На сколько километров в час скорость второго лыжника больше скорости первого?

1) 51 : 3 = 17 (км/ч) — скорость первого лыжника;
2) 51 + 6 = 57 (км) — пробежал второй лыжник;
3) 57 : 3 = 19 (км/ч) — скорость второго лыжника;
4) 19 − 17 = 2 (км/ч) — скорость второго лыжника больше, чем первого.
Ответ: на 2 км/ч.

2. а) От деревни до станции 4 км. Ваня идёт из деревни на станцию со скоростью 80 м/мин. Какое расстояние ему останется пройти через полчаса после выхода? Сколько времени ему потребуется, чтобы пройти оставшееся расстояние?

Зная что: пол часа = 30 мин и 4 км = 4000 м
1) 30 * 80 = 2400 (м) — пройдет Ваня за полчаса.
2) 4000 − 2400 = 1600 (м) — останется пройти Ване.
3) 1600 : 80 = 20 (мин) − время, через которое Ваня пройдет оставшееся расстояние.
Ответ: 1600 м; за 20 мин.

б) Автомобиль за 6 ч проехал 480 км. Какое расстояние мог бы проехать автомобиль за это же время, если бы увеличил скорость на 12 км/ч?

1) 480 : 6 = 80 (км/ч) — скорость автомобиля;
2) 80 + 12 = 92 (км/ч) — увеличенная скорость автомобиля;
3) 92 * 6 = 552 (км) — мог бы проехать автомобиль, если бы ехал с увеличенной скоростью.
Ответ: 552 км.

а) Таня шла сначала по шоссе a км, а потом по просёлку b км. С какой скоростью шла Таня, если весь путь занял t часов?

б) Костя шёл лесом a км, а полем на b км больше. Весь путь занял t часов. С какой скоростью шёл Костя?

в) Расстояние от села Горшково до деревни Светлая a км, а от деревни Светлая до города в b раз меньше. Грузовик проехал от Горшково до города через деревню Светлая со скоростью v км/ч. Сколько времени ехал грузовик?

Страница 19

4. Составь выражение и найди его значение при данных значениях букв:

а) Лодка проплывает a км вниз по реке со скоростью b км/ч, а возвращается со скоростью c км/ч. Какое время затратит лодка на весь путь туда и обратно? (a = 30, b = 10, c = 6)

(a : b) + (а : с) = (30 : 10) + (30 : 6) = 3 + 5 = 8 (ч)
Ответ: 8 часов.

б) Валя прошла за k часов x км, а Серёжа за то же время прошёл y км. На сколько скорость Серёжи больше скорости Вали? (x = 12, y = 15, k = 3)

(y : k) — (x : k) = (15 : 3) — (12 : 3) = 5 — 4 = 1 (км/ч)
Ответ: на 1 км/ч.

в) Машина проехала за n часов d км. Какое расстояние она проедет за m часов, если будет ехать с той же скоростью? (d = 240, n = 4, m = 7)

d : n * m = 240 : 4 * 7 = 60 * 7 = 420 (км)
Ответ: 420 км.

5. Пусть a – длина прямоугольника, а b – его ширина. Объясни смысл выражений:

a + b — длина и ширина прямоугольника
a • 2 + b • 2 — периметр
a • b — площадь
a – b — на сколько длина больше ширины
(a + b) • 2 — периметр
a : b — во сколько раз длина больше ширины

6. Найди площадь закрашенных фигур:

6 * 12 — 4 * 4 = 72 — 16 = 56 (м 2 ) — площадь фигуры.
Ответ: 56 м 2 .

80 * 96 — 40 * 28 = 7680 — 1120 = 6560 (см 2 ) — площадь фигуры.
Ответ: 6560 см 2 .

7. Реши уравнения с комментированием и проверкой:

а) (150 : x + 6) : 7 = 8
150 : x + 6 = 8 * 7
150 : x = 56 — 6
х = 150 : 50
х = 3
Проверка:
(150 : 3 + 6) : 7 = 8
8 = 8

б) 800 – (y • 8 – 20) = 100
y • 8 – 20 = 800 — 100
y • 8 = 720
y = 720 : 8
y = 90
Проверка:
800 – (90 • 8 – 20) = 100
100 = 100

8. Составь программу действий и вычисли:

4 7 1 2 5 8 6 3
а) 0 • 19 + (45 : 1 – 0) • 1 – 18 • (12 : 12) = 27

1) 45 : 1 = 45
2) 45 — 0 = 45
3) 12 : 12 = 1
4) 0 * 19 = 0
5) 45 * 1 = 45
6) 18 * 1 = 18
7) 0 + 45 = 45
8) 45 — 18 = 27

5 8 1 3 2 6 9 7 4
б) 1 • 0 + (3 • 8 – 6 • 4) • 5 – 0 : (945 – 732) = 0

1) 3 * 8 = 24
2) 6 * 4 = 24
3) 24 — 24 = 0
4) 945 — 732 = 213
5) 1 * 0 = 0
6) 0 * 5 = 0
7) 0 : 213 = 0
8) 0 + 0 = 0
9) 0 — 0 = 0

9. Запиши множество делителей и множество кратных числа 16.

10. Установи закономерность, по которой расставлены числа в таблице. Найди пропущенное число.

Страница 20

1. а) После вспышки молнии Марина услышала гром через 5 с. На каком расстоянии от неё ударила молния? (Скорость распространения звука в воздухе равна 330 м/с.)

5 * 330 = 1650 (м) − расстояние от Марины до молнии.
1650 м = 1 км 650 м
Ответ: 1 км 650 м.

б) Скорость распространения света 300 000 км/с. На Солнце произошла вспышка. Через какое время её увидят на Земле, если расстояние от Земли до Солнца равно 150 000 000 км?

150 000 000 : 3 00000 = 500 (с) — увидят вспышку на Земле.
Ответ: через 500 секунд или 8 мин 20 секунд

2. а) Грузовик проехал расстояние из города A в город B со скоростью 45 км/ч за 4 часа. Обратно из B в A он возвращался по той же дороге со скоростью на 15 км/ч больше. На сколько меньше времени затратил грузовик на обратный путь?

1) 4 * 45 = 180 (км) — весь путь грузовика.
2) 45 + 15 = 60 (км) — скорость на обратном пути
3) 180 : 60 = 3 (ч) — времени ушло на обратный путь
4) 4 — 3 = 1 (ч) — на столько меньше грузовик затратил времени на обратный путь
Ответ: на 1 час.

б) Автобус проехал 432 км за 8 часов. На сколько километров в час он должен был увеличить скорость, чтобы проехать это расстояние на 2 часа быстрее?

1) 432 : 8 = 54 (км/ч) — с такой скоростью ехал автобус 432 километра.
2) 8 * 2 = 6 (ч) — он должен проехать 432 километра, чтобы проехать это расстояние на 2 часа быстрее.
3) 432 : 6 = 72 (км/ч) — должна быть скорость.
4) 72 — 54 = 18 (км/ч) — на столько должен увеличить скорость автобус
Ответ: на 18 километров в час.

3. Вычисли устно:

S = 5 * 5 = 25 м 2
P = (5 + 5) * 2 = 20 м

P = 28 (тогда сторона квадрата 28 : 2 : 2 = 7 см)
S = 7 * 7 = 49 см 2

S = 12 дм 2 (тогда вторая сторона 12 : 6 = 2 дм)
P = (2 + 6) * 2 = 16 (дм)

P = 18 см (тогда вторая сторона (18 — 4*2) : 2 = 5 см)
S = 5 * 4 = 20 см 2

4. Автомобиль должен за 7 часов проехать 630 км. Первые 2 ч он ехал со скоростью 70 км/ч, а в следующие 3 ч увеличил скорость на 20 км/ч. С какой скоростью автомобиль должен ехать оставшийся путь, чтобы прибыть в пункт назначения вовремя?

1) 2 * 70 = 140 (км) − проехал автомобиль в первые 2 часа;
2) 70 + 20 = 90 (км/ч) − скорость автомобиля во вторые 3 часа;
3) 3 * 90 = 270 (км) − проехал автомобиль во вторые 3 часа;
4) 630 − (140 + 270) = 630 − 410 = 220 (км) − осталось проехать автомобилю;
5) 7 − (2 + 3) = 7 − 5 = 2 (ч) − осталось проехать автомобилю;
6) 220 : 2 = 110 (км/ч) − скорость, с которой должен ехать автомобиль оставшийся путь.
Ответ: 110 км/ч.

Страница 21

5. Иван Иванович отправился из дома на озеро Медвежье ловить рыбу. Три часа он ехал на поезде со скоростью 75 км/ч, а потом 2 часа шёл по лесу со скоростью 4 км/ч. Какой путь проделал Иван Иванович от дома до озера?

1) 75 * 3 = 225 (км) — ехал на поезде.
2) 4 * 2 = 8 (км) — шел пешком.
3) 225 + 8 = 233 (км) — путь проделал Иван Иванович от дома до озера.
Ответ: 233 км.

6. Составь выражение и найди его значение, если a = 90: «Велосипедист проехал расстояние, равное a км, за 5 ч, а автобус – за 2 ч. На сколько километров в час скорость автобуса больше скорости велосипедиста?»

90 : 2 — 90 : 5 = 45 — 18 = 27 (км/ч) — скорость автобуса больше скорости велосипедиста.
Ответ: на 27 км/ч.

7. Прочитай выражения и найди их значения:

а) 800 • n, если n = 70 540

б) 278 100 : c, если c = 90

8. Реши уравнения с комментированием и сделай проверку:

а)
(200 + 20 • a) : 6 = 60
200 + 20 • a = 60 * 6
20 • a = 360 — 200
a = 160 : 20
а = 8
Проверка:
(200 + 20 • 8) : 6 = 60
60 = 60

б)
320 : (b • 8 – 40) = 10
b • 8 – 40 = 320 : 10
b • 8 = 32 + 40
b = 72 : 8
b = 9
Проверка:
320 : (9 • 8 – 40) = 10
10 = 10

9. а) Туристы вышли из посёлка Дачное. В каком направлении и с какой скоростью они идут? Построй числовой луч и покажи на нём движение туристов.

Идут с Дачного в Грибцово, со скоростью 6 км/ч.

б) Пусть s км – путь, пройденный туристами, d км – расстояние от туристов до Грибцова, а D км – до Земляничной Поляны. Заполни таблицу. Запиши формулу зависимости каждой из величин s, d, D от времени движения t.

10. Запиши множество делителей и множество кратных числа 17.

11. Назови число, предшествующее самому маленькому 15-значному числу.

100 000 000 000 000 — самое маленькое 15-значное.
99 999 999 999 999 — предшествует самому маленькому 15-значному. (девяносто девять триллионов девятьсот девяносто девять миллионов девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять)

Страница 22

1. Повтори таблицу мер длины, массы и времени. Вырази данные значения величин в указанных единицах измерения:

а)
8 км 16 м = 8016 м
5 м 9 мм = 5009 мм
2 т 3 ц 6 кг = 2306 кг
4 ц 7 кг 8 г = 407 008 г

б)
2 сут. 9 ч 25 мин = 2 * 24 * 60 + 9 * 60 + 25 = 2880 + 540 + 25 = 3 445 мин
3 ч 12 мин 46 с = 3 * 60 * 60 + 46 = 10 800 + 46 = 10 846 с
870 мин = 14 ч 30 мин
3520 с = 58 мин 40 с

2. а) Лыжник прошёл 18 км за 2 часа. Какое расстояние он пройдёт за такое же время, если увеличит скорость на 3 км/ч?

1) 18 : 2 = 9 (км/ч) — скорость лыжника.
2) 9 + 3 = 12 (км/ч) — будет скорость лыжника, если он ее увеличит на 3 км/ч
3) 12 * 2 = 24 (км) — пройдет лыжник.
Ответ: 24 км.

б) Моторная лодка прошла по течению реки 5 ч со скоростью 24 км/ч. На обратный путь она затратила на 1 час больше времени. Чему равна скорость моторной лодки против течения реки?

1) 5 * 24 = 120 (км) — прошла по течению реки.
2) 120 : 6 = 20 (км/ч) — была скорость на обратном пути, против течения.
Ответ: 20 км/ч.

3. Вычисли устно:

Слева: 9 * 3 * 2 = 54 (м 3 ) — объем параллелепипеда.
Справа: 12 * 5 — 6 * 2 = 60 — 12 = 48 (дм 2 ) — площадь закрашенная зеленым цветом.

4. Катер прошёл путь между двумя пристанями со скоростью 30 км/ч, а обратный путь – со скоростью на 10 км/ч большей. Расстояние между этими пристанями равно 240 км. Какое время затратил катер на путь туда и обратно?

1) 240 : 30 = 8 (ч) — катер шел в одном направлении.
2) 30 + 10 = 40 (км/ч) — скорость катера в обратном направлении.
3) 240 : 40 = 6 (ч) — катер шел в обратном направлении.
4) 8 + 6 = 14 (ч) — катер шел туда и обратно.
Ответ: 14 часов.

5. Прочитай выражения и найди их значения:

а) 10 000 – x : 70, если x = 644 560

При x = 644 560
10 000 – x : 70 = 10 000 – 644 560 : 70 = 10 000 — 9 208 = 792

б) (y • 6004) : 500, если y = 4000

При y = 4000
(y • 6004) : 500 = (4000 • 6004) : 500 = 24 016 000 : 500 = 48 032

6. Реши уравнения с комментированием и сделай проверку:

а) (n : 4 – 35) • 6 = 150

1. Вначале переместим из левой части в правую число 6, поделив на него 150, получим:
(n : 4 — 35) * 6 = 150,
n : 4 — 35 = 150 / 6,
n : 4 — 35 = 25.
2. Теперь переместим в правую часть вычитаемое значение 35, прибавив его к 25, получим:
n : 4 = 35 + 25,
n : 4 = 60.
Остается только умножить делитель левой части на 60, чтобы выяснить, чему равен n:
n = 4 * 60,
n = 240.
Проверка:
(240 : 4 — 35) * 6 = 150,
(60 — 35) * 6 = 150,
25 * 6 = 150,
150 = 150, правильно, значит решение верное.
Ответ: в результате получили значение n, равное 240.

б) 90 • (m – 8) + 60 = 510

Чтобы решить 90 * (m — 8) + 60 = 510 уравнение используем тождественные преобразования.
Первым действием переносим 60 в правую часть уравнения и меняем его знак на противоположный.
90 * (m — 8) = 510 — 60;
90 * (m — 8) = 450;
m — 8 = 450 : 90;
m — 8 = 5;
И последним действием перенесем 8 в правую часть уравнения и сменим для этой цифры знак на «+».
m = 5 + 8;
m = 13.
Проверка:
90 * (13 — 8) = 510 — 60
450 = 450 правильно, значит решение верное.
Ответ: в результате получили значение m, равное 13.

Страница 23

7. Составь и реши уравнения:
а) Миша задумал число, умножил его на 5 и полученное произведение вычел из 41. В результате у него получилось 16. Какое число за думал Миша?

Обозначим задуманное число через х. После того, как Миша умножил задуманное число на 5, в результате получилось 5* х. После того, как Миша полученное произведение вычел из 41, в результате получилось 41 — 5х. Также в условии задачи сказано, что в результате всех этих действий у Миши получилось 16, следовательно, можем составить следующее уравнение:

Решаем полученное уравнение:
5 * х = 41 — 16;
5 * х = 25.
х = 25 : 5;
х = 5.
Ответ: Миша задумал число 5.

б) Галя за думала число, вычла его из 50, результат разделила на 7. У неё получи лось 7. Какое число задумала Галя?

Задуманное число примем за Х, составим и решим уравнение:

(50 — Х) : 7 = 7
(50 — Х) = 7 * 7
50 — Х = 49
Х = 1
Проверим решение уравнения:
(50 -1) : 7 = 7
7 = 7.
Ответ: Галя задумала число 7

в) Тимоша задумал число, затем разделил 54 на задуманное число, при ба вил к результату 26 и полученную сумму раз де лил на 8. В ответе у него получилось 4. Какое число задумал Тимоша?

(54 : Х + 26) : 8 = 4
54 : Х + 26 = 4 * 8
54 : Х +26 = 32
54 : Х = 32 — 26
54 : Х = 6
Х = 9.
Проверим решение уравнения:
(54 : 9 + 26) : 8 = 4
4 = 4.
Ответ: Тимоша задумал 4.

8. Составь программу действий и вычисли:

1 2 3 7 9 4 6 5 8
а) (1800 : 2 : 30 + 18) : 6 + (70 • 7 – 140 : 2) : 60 = 15

1) 1800 : 2 = 900
2) 900 : 30 = 30
3) 30 + 18 = 48
4) 48 : 6=8
5) 70 * 7 = 490
6) 140 : 2 = 70
7) 490 — 70 = 420
8) 420 : 60 = 7
9) 8 + 7 = 15

2 1 6 7 9 3 5 4 8
б) (60 – 16 : 4) : 8 • 40 – (80 • 8 – 20 • 5) : 6 = 190

1) 16 : 4 = 4
2) 60 — 4 = 56
3) 80 * 8 = 640
4) 20 * 5 = 100
5) 640 — 100 = 540
6) 56 : 8 = 7
7) 40 * 7 = 280
8) 540 : 6 = 90
9) 280 — 90 = 190

а) Стрекоза пролетает a км за 2 ч. Какое расстояние она пролетит за 5 ч, если будет лететь с той же скоростью?

б) Заяц пробежал b км за 3 ч, а волк пробежал то же расстояние за 4 ч. У кого из них скорость больше и на сколько?

в) Крокодил Гена проехал 3 ч на поезде со скоростью n км/ч и 2 ч на автобусе со скоростью m км/ч. Сколько всего километров он проехал?

г) Черепаха Тортила 5 ч ползла со скоростью c км/ч. Всего ей надо проползти d км. Какое расстояние ей ещё осталось проползти?

10. Запиши множество делителей и множество кратных числа 18.

11. Найди пропущенные цифры. Проверь с помощью калькулятора.

12. Пять товарищей спускались с горы на санках. Игорь проехал дальше Романа, но ближе, чем Олег. Костя проехал меньше, чем Роман, а Илья – дальше Олега. Кто из них проехал дальше всех, а кто – ближе всех?

Если Игорь проехал дальше Романа, но меньше, чем Олег, то дети располагаются следующим образом:
Роман, Игорь, Олег.
Если Илья проехал дальше, чем Олег, то поставим его имя после имени Олег:
Роман, Игорь, Олег, Илья.
Костя проехал меньше, чем Роман, значит его имя поставим в начало:
Костя, Роман, Игорь, Олег, Илья.
ОТВЕТ: дальше всех проехал Илья, меньше всех проехал Костя.

Страница 24

1. а) Вертолёт пролетел 840 км за 4 часа, а автобус проехал расстояние в 2 раза меньшее, затратив на 2 часа больше. Во сколько раз скорость автобуса меньше скорости вертолёта?

1) 840 : 4 = 210 (км/ч) — скорость вертолета.
2) 840 : 2 = 420 (км) — проехал автобус.
3) 4 + 2 = 6 (ч) — ехал автобус.
4) 420 : 6 = 70 (км/ч) — скорость автобуса.
5) 210 : 70 = в 3 (раза) — скорость автобуса меньше скорости вертолета
Ответ: в 3 раза.

б) Лыжник пробежал 36 км за 2 ч, а пешеход прошёл половину этого расстояния за время в 3 раза большее. На сколько километров в час скорость пешехода меньше скорости лыжника?

1) 36 : 2 = 18 (км/ч) — скорость лыжника
2) 36 : 2 = 18 (км) — половина пути.
3) 2 * 3 = 6 (ч) — шел пешеход
4) 18 : 6 = 3 (км/ч) скорость пешехода.
5) 18 — 3 = 15 (км/ч) — на столько километров в час скорость пешехода меньше скорости лыжника.
Ответ: 1на 15 км/ч.

а) После того как поезд проехал 4 часа со скоростью n км/ч, ему ещё осталось проехать b км. Чему равен весь путь поезда?

б) Спортсмен бежал 2 часа со скоростью v км/ч. Длина всей дистанции равна m км. Сколько километров ему ещё осталось пробежать?

в) Самолёт пролетел s км за 3 часа, а в обратную сторону – за 2 часа. На сколько километров в час больше была его скорость на обратном пути?

3. Выполни действия:

а) 1 ч = 60 мин
5 ч 12 мин = 5 * 60 + 12 = 300 + 12 = 312 мин
3 ч 48 мин — 3 * 60 + 47 = 180 + 47 = 227 мин
5 ч 12 мин — 3 ч 48 мин = 312 мин — 227 мин = 85 мин = 1 ч 25 мин

б) 1 мин = 60 с
16 мин 39 с = 16 * 60 + 39 = 960 + 39 = 999 с
4 мин 56 с = 4 * 60 + 56 = 240 + 56 = 296 с
16 мин 39 с + 4 мин 56 с = 999 с + 296 с = 1295 с = 21 мин 35 с

в) 1 ц = 100 кг; 1 т = 1000 кг; 1 т = 10 ц
42 ц 94 кг = 42 * 100 + 94 = 4200 + 94 = 4294 кг
2 т 6 кг = 2 * 1000 + 6 = 2000 + 6 = 2006 кг
42 ц 94 кг + 2 т 6 кг = 4294 кг + 2006 кг = 6300 кг = 63 ц = 6 т 3 ц

г) 1 т = 1000 кг; 1 ц = 100 кг
12 т 50 кг = 12 * 1000 + 50 = 12 000 + 50 = 12 050 кг
52 ц 90 кг = 52 * 100 + 90 = 5200 + 90 = 5290 кг
12 т 50 кг — 52 ц 90 кг = 12 050 кг — 5290 кг = 6760 кг = 6 т 7 ц 60 кг

4. Составь программу действий и вычисли:

5 1 3 2 8 6 9 4 7
а) 80 : (16 • 4 + 320 : 20) + 74 • 0 – (18 – 18) : 30 = 1

1) 16 * 4 = 64
2) 320 : 20 = 16
3) 64 + 16 = 80
4) 18 — 18 = 0
5) 80 : 80 = 1
6) 74 * 0 = 0
7) 0 : 30 = 0
8) 1 + 0 = 1
9) 1 — 0 = 1

5 8 6 1 9 7 2 4 3
б) 0 : 48 + 50 • (10 000 – 9999) – 40 : (27 • 3 – 320 : 4) = 10

1) 10 000 — 9 999 = 1
2) 27 * 3 = 81
3) 320 : 4 = 80
4) 81 — 80 = 1
5) 0 : 48 = 0
6) 50 * 1 = 50
7) 40 : 1 = 40
8) 0 + 50 = 50
9) 50 — 40 = 10

5. Реши уравнения с комментированием и сделай проверку:

Вначале перенесем делитель 3 в правую часть, умножив его на 80, получим значение выражения в скобках:
(90 * b + 60) : 3 = 80,
90 * b + 60 = 3 * 80,
90 * b + 60 = 240.
Теперь перенесем слагаемое 60 в правую сторону, получим:
90 * b = 240 — 60,
90 * b = 180.
Поделим значение произведения на множитель 90, получим значение b:
b = 180 : 90,
b = 2.
Проверка:
(90 * 2 + 60) : 3 = 80,
(180 + 60) : 3 = 80,
240 : 3 = 80,
80 = 80, верно.
Ответ: b = 2.

б) 1400 : (35 – y) – 29 = 41

Перенесем 29 в правую часть уравнения и сменим его знак на плюс.
1400 : (35 — y) = 41 + 29
1400 : (35 — y) = 70
Разность (35 — y) рассмотрим как неизвестный делитель:
35 — y = 1400 : 70
35 — y = 20
Перенесем у в правую часть уравнения и изменим его знак на минус. Для удобства восприятия поменяем стороны уравнения разделенные » tabs article3803-tabs23″>

Страница 25

7. Длина коробки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, равна 30 см, а ширина – 20 см.

1) Чему равна высота коробки, если её объём равен 7200 см3?

1) 30 * 20 = 600 (см 2 ) — площадь грани.
2) 7200 : 600 = 12 (см) — высота коробки.
Ответ: 12 см.

2) Какую площадь и какой периметр имеет дно коробки?

1) 30 * 20 = 600 (см 2 ) — площадь грани (дна).
2) (30 + 20) * 2 = 100 (см) — периметр дна.
Ответ: 600 см и 100 см

3) Коробку надо перевязать лентой, как показано на рисунке. Какой длины должна быть эта лента, если на узел и бант надо дополнительно предусмотреть 26 см?

12 * 4 + 30 * 2 + 20 * 2 + 2 6 = 48 + 60 + 40 + 26 = 148 + 26 = 174 (см) — длиной должна быть эта лента.
Ответ: 174 см

8. Сравни выражения, не выполняя вычислений. Обоснуй свой ответ.

3974 + 815 = 815 + 3794 — числа в суммах одинаковые
76 012 – 32 < 76 012 – 23 — когда вычитаем из одинакового числа большее, то получается меньшее значение.
9083 – 96 < 9100 – 96 — когда вычитаем из меньшего числа тоже значение, что из большего, то получается меньшее значение.

786 • 29 > 786 + 29 — в 29 раз всегда больше, чем на 29
3420 : 6 < 3420 • 2 — увеличение в 6 раз больше, чем уменьшение в два раза.
2158 : 26 > 2158 : 83 — деление на меньшее значение, всегда дает больший результат.

9. Запиши множество делителей и множество кратных числа 19.

10. Найди площадь прямоугольного участка по указанным размерам. Сколь ко раз личных способов решения имеет эта задача? Что ты замечаешь?

Задача имеет три решения, так как здесь можно выделить 3 прямоугольника.

1 Решение:
6 * 38 = 228 (м 2 ) площадь маленького прямоугольника.
Ответ: 228 м 2 .

2 Решение:
50 * 38 = 1900 (м 2 ) площадь среднего прямоугольника.
Ответ: 1900 м 2 .

3 Решение:
(50 + 6) * 38 = 2128 (м 2 ) площадь большого прямоугольника.
Ответ: 2128 м 2 .

Замечаю, что площадь среднего и малого прямоугольника составляет площадь большого прямоугольника.

11. Найди площадь прямоугольника, разбивая его на части удобным способом:

Удобно разбить на 4 прямоугольника, проведя границу по разрядам величин сторон.

Получаем:
90 * 70 + 70 * 7 + 7 * 5 + 90 * 5 = 6300 + 490 + 35 + 450 = 7 275 (дм 2 ) — площадь прямоугольника.
Ответ: 7 275 дм 2 .

12. Вычисли. Расположи ответы в порядке убывания и расшифруй имя сказочного героя. Из какой он сказки?

Г 3052 * 600 = 1 831 200
У 19 050 * 50 = 952 500
Д 5 632 084 – 5 294 352 = 337 732
В 94 203 + 186 902 + 56 618 = 337 723
И 647 040 : 8 = 80 880
Н 313 920 : 4 = 78 480

ГУДВИН. Сказка: Волшебник изумрудного города.

13. D – множество девочек класса, M – множество мальчиков этого же класса. Что представляют собой множества D  M и D  M?

D∩M = ∅ (не может быть пересечение девочек и мальчиков);
DUM = множество учеников в классе.

14. В вазе лежало 20 слив. Наташа взяла сначала четверть всех слив, а потом – треть от оставшихся. Сколько всего слив взяла Наташа?

1) 20 : 4 = 5 (с.) — взяла сначала.
2) 20 — 5 = 15 (с.) — осталось.
3) 15 : 3 = 5 (с.) — взяла второй раз.
4) 5 + 5 = 10 (с.) — взяла всего
Ответ: 10 слив.

Страница 26

1. а) Объясни по рисунку, как умножить число на сумму, и выполни умножение:

Для удобства вычисления можно разбить числа в произведении на удобные числа таким образом, чтобы можно было вынести одно целое число, которое удобно будет умножать на разложенные числа. а • (b + c) = a • b + a • c

б) Используя рисунок, объясни способ записи умножения на двузначное число в столбик:

Чтобы умножить любое число на двузначное, можно умножить это число сначала на единицы, а потом на десятки и полученные произведения сложить. В записи суммы число десятков сдвигают на 1 разряд влево

2. В кинотеатре 18 рядов по 32 места в каждом ряду. Сколько всего мест в кинотеатре?

Найди в данной записи ответы на вопросы:

Сколько мест в 8 рядах?
8 * 32 = 256 (м.) — в 8 рядах

Сколько мест в 10 рядах?
10 * 32 = 320 (м.) — в 10 рядах

Сколько всего мест в кинотеатре?
(8 + 10) * 32 = 8 * 32 + 10 * 32 = 256 + 320 = 576 (м.) — всего в кинотеатре.
Ответ: 576 мест.

Страница 27

3. Правильно ли Максим решил и прокомментировал пример?

1. Умножим 145 на 7 единиц, получим 1015 единиц.
2. Умножим 145 на 2 десятка, получим 290 десятков. Записываем число 290 со сдвигом на 1 разряд влево.
3. Складываем полученные числа.
Ответ: 3915.

4. Реши примеры с комментированием:

1. Умножим 92 на 9 единиц, получим 828 единиц.
2. Умножим 92 на 8 десятков, получим 736 десятков. Записываем число 736 со сдвигом на 1 разряд влево.
3. Складываем полученные числа.
Ответ: 8188.

1. Умножим 57 на 5 единиц, получим 285 единиц.
2. Умножим 57 на 9 десятков, получим 513 десятков. Записываем число 513 со сдвигом на 1 разряд влево.
3. Складываем полученные числа.
Ответ: 5415.

в) 138 • 56 = 7 728

1. Умножим 138 на 6 единиц, получим 1242 единиц.
2. Умножим 138 на 5 десятков, получим 690 десятков. Записываем число 690 со сдвигом на 1 разряд влево.
3. Складываем полученные числа.
Ответ: 7728.

г) 296 • 23 = 6808

1. Умножим 296 на 3 единиц, получим 888 единиц.
2. Умножим 296 на 2 десятка, получим 592 десятков. Записываем число 592 со сдвигом на 1 разряд влево.
3. Складываем полученные числа.
Ответ: 6808.

д) 906 • 15 = 13590

1. Умножим 906 на 5 единиц, получим 4530 единиц.
2. Умножим 906 на 1 десяток, получим 906 десятков. Записываем число 906 со сдвигом на 1 разряд влево.
3. Складываем полученные числа.
Ответ: 13590.

е) 709 • 84 = 59 556

1. Умножим 709 на 4 единицы, получим 2836 единиц.
2. Умножим 709 на 8 десятков, получим 5672 десятков. Записываем число 5672 со сдвигом на 1 разряд влево.
3. Складываем полученные числа.
Ответ: 59556

ж) 2384 • 47 = 112 048

1. Умножим 2384 на 7 единиц, получим 16688 единиц.
2. Умножим 2384 на 4 десятка, получим 9536 десятков. Записываем число 9536 со сдвигом на 1 разряд влево.
3. Складываем полученные числа.
Ответ: 13590

з) 9051 • 72 = 651 672

1. Умножим 9051 на 2 единицы, получим 18102 единиц.
2. Умножим 9051 на 7 десятков, получим 63357 десятков. Записываем число 63357 со сдвигом на 1 разряд влево.
3. Складываем полученные числа.
Ответ: 651672

5. а) Лыжники были в походе 7 дней. Каждый день они шли по 6 ч со скоростью 9 км/ч. Сколько километров прошли лыжники?

Составим выражение.
9 * 6 * 7 = 54 * 7 = 378 (км) — прошли лыжники.
Ответ: 378 км

б) Миша пробежал 8 кругов со скоростью 200 м/мин. Сколько времени он бежал, если длина одного круга 400 м?

1) 400 : 200 = 2 (мин) — Миша бежал 1 круг.
2) 2 * 8 = 16 (мин) — бежал Миша.
Ответ: 16 минут.

6. Расстояние от Москвы до Новосибирска 3320 км. Поезд проходит его за 40 ч, а самолёт пролетает – в 10 раз быстрее. На сколько часов меньше лететь до Новосибирска самолётом, чем ехать поездом? Во сколько раз скорость поезда меньше скорости самолёта?

1) 40 : 10 = 4 (ч) — летит самолет
2) 40 — 4 = 36 (ч) — на столько часов меньше летит самолет.
3) 40 : 4 = 10 (р.) — быстрее прилетит самолет, значит его скорость в 10 раз больше.
Ответ: 36 ч , в 10 раз.

7. Составь и реши уравнения:

а) На сколько надо умножить число 60, чтобы получить 4320?

б) Какое число надо разделить на 700, чтобы получить 506?

в) На сколько надо разделить 8500, чтобы получить 500?

8. Запиши множество делителей и множество кратных числа 20.

9. Выполни действия:

а) 4 ч 58 мин + 2 ч 17 мин – 3 ч 29 мин = 3 ч 46мин

Данный пример можно решить двумя способами:
1 способ — складывать часы с часами и минуты с минутами.
4ч. 58мин. + 2ч. 17мин. — 3ч. 29мин.= 3ч. 46мин.
4ч.58мин. + 2ч. 17мин. = 6ч. 75мин.
6ч. 75мин. — 3ч. 29 мин. = 3 ч. 46мин.
2 способ — перевести все часы в минуты.
4ч. 58 мин. = 4*60 + 58 = 298 мин.
2ч. 17мин. = 2*60+17= 137 мин.
3ч.29мин. = 3*60+29 = 209мин.
298 мин.+137 мин. — 209 мин. = 226 мин.
226 мин = 3 ч. 46мин.
Ответ: 3 ч. 46 мин.

б) 18 мин 9 с – 7 мин 46 с + 48 мин 35 с = 58 минут 58 секунд

18 минут 9 секунд — 7 минут 46 секунд
Переводим все в секунды, для этого минуты умножаем на 60 секунд:
18 минут 9 секунд = 1089 секунд
7 минут 46 секунд = 466 секунд
1089—466=623 секунды
623 секунды + 48 минут 35 секунд
48 минут 35 секунд = 2915 секунд
623+2915=3538 секунд
3538 секунд = 58 минут 58 секунд
Ответ: 58 минут 58 секунд

в) 4 мин 52 с · 5 = 24 минуты 20 секунд

Для того чтобы решить данный пример переводим минуты в секунды. В 1 мин — 60 сек. Записываем решение.
4 мин 52 сек = 1 мин × 4 + 52 сек = 60 сек × 4 + 52 сек = 240 сек + 52 сек = 292 сек.
Далее полученное значение подставляем в исходный пример.
4 мин 52 с * 5 = 292 сек × 5 = 1460 сек = 24 мин 20 сек.
В результате получается ответ 24 мин 20 сек.
Ответ: 24 минуты 20 секунд.

г) 7 ч 3 мин : 9 = 47 мин

1час = 60минут
7 * 60 = 420
420 + 3 = 423 мин
423 : 9= 47 мин
Ответ: 47 мин.

10. В вазе лежат персик, ананас и банан. Сколькими различными способами из неё можно взять один, два или три фрукта?

Если взять первые буквы от названий фруктов, то способы перебора можно записать так: ПАБ, ПБА, АПБ, АБП, БАП, БПА. Порядок перебора следующий: каждый из фруктов должен занять первое место в тройках дважды, два других фрукта записываются в любом порядке, а в следующей тройке меняются местами.
Мы рассмотрели случай, когда фрукты берут по одному.

Если можно брать 2 фрукта, тогда возможны такие способы:

ПА и Б
Б и ПА
ПБ и А
А и ПБ
АБ и П
П и АБ.

И еще один способ, если можно взять сразу 3 фрукта из вазы.

Таким образом, мы нашли 6 + 6 + 1 = 13 способов.

Страница 28

1. Составь выражение и найди его значение:

а) Одна ручка стоит 17 р. Сколько надо заплатить за 5 таких ручек?

17 * 5 = 85 (р.) стоят 5 ручек.
Ответ: 85 рублей.

б) Метр ткани стоит 120 р. Сколько стоят 3 м этой ткани?

120 * 3 = 360 (р.) стоит 3 метра ткани.
Ответ: 360 рублей.

в) Литр сока стоит a р. Сколько стоят n л этого сока? Что общего во всех этих задачах? О каких величинах в них идёт речь? Как найти стоимость товара, зная его цену и количество?

Формула стоимости
Пусть C – стоимость товара, a – его цена (то есть стоимость единицы товара – 1 штуки, 1 метра, 1 килограмма, 1 литра и т. д.), а n – количество товара в выбранных единицах. Тогда:
C = a • n
Полученное равенство называется формулой стоимости. Оно означает, что стоимость равна цене, умноженной на количество товара.
Из формулы стоимости по правилу нахождения неизвестного множителя легко выразить величины a и
n : a = C : n
n = C : a
• Цена равна стоимости, делённой на количество товара.
• Количество товара равно стоимости, делённой на цену

2. Найди неизвестные значения величин по формуле стоимости C = a

3. Цена книги 45 р. Чему равна стоимость 2 книг, 4 книг, 6 книг, n книг? Заполни в тетради таблицу. Запиши формулу зависимости стоимости C купленных книг от их количества n.

Страница 29

4. У Игоря 240 р. Сколько тетрадей он сможет купить, если их цена 10 р., 12 р., 15 р., 20 р., a р.? Заполни таблицу. Запиши формулу зависимости количества купленных тетрадей n от их цены a.

5. Реши примеры с комментированием. Найди сумму и разность наибольшего и наименьшего из получившихся чисел:

1. Умножим 85 на 4 единицы, получим 340 единиц.
2. Умножим 85 на 5 десятков, получим 425 десятков. Записываем число 425 со сдвигом на 1 разряд влево.
3. Складываем полученные числа.
Ответ: 4590.

б) 279 • 68 = 18 972

х 279
68
+2232
1674
18972

1. Умножим 279 на 8 единиц, получим 2232 единиц.
2. Умножим 279 на 6 десятков, получим 1674 десятков. Записываем число 1674 со сдвигом на 1 разряд влево.
3. Складываем полученные числа.
Ответ: 18972.

в) 406 • 49 = 19 894

х 406
49
+3654
1624
19894

1. Умножим 406 на 9 единиц, получим 3654 единиц.
2. Умножим 406 на 4 десятка, получим 1624 десятков. Записываем число 1624 со сдвигом на 1 разряд влево.
3. Складываем полученные числа.
Ответ: 19894.

г) 9032 • 97 = 876 104

х 9032
97
+63224
81288
876104

1. Умножим 9032 на 7 единиц, получим 63224 единиц.
2. Умножим 9032 на 9 десятков, получим 81288 десятков. Записываем число 81288 со сдвигом на 1 разряд влево.
3. Складываем полученные числа.
Ответ: 876104.

6. Выполни действия:

х 415
36
+ 2490
1245
14940

б) 709 • 79 = 56 011

х 709
79
+6381
4963
56 011

в) 3705 • 68 = 251 940

х 3705
68
+29640
22230
251940

г) 20 507 • 94 = 1 927 658

7. Мотоциклист выехал из Москвы в Клин со скоростью 45 км/ч. В дороге он сделал две остановки: одну на – 25 мин, а вторую – на 35 мин. В Клин мотоциклист прибыл в 13 ч 20 мин. В котором часу он выехал из Москвы, если расстояние от Москвы до Клина равно 90 км?

1) 25 + 35 = 60 (мин.) — мотоциклист не ехал.
2) 90 : 45 = 2 (ч.) — мотоциклист ехал.
3) 2 + 1 = 3 (ч) — мотоциклист находился в пути.
4) 13 ч 20 мин — 3 ч = 10 ч 20 мин — в это время выехал мотоциклист.
Ответ: выехал в 11 часу.

8. Повтори таблицу мер длины. Используя её, вырази данные величины в указанных единицах измерения:

а)
3 см 5 мм = 35 мм
3 дм 5 см = 35 см
3 дм 5 мм = 305 мм
3 дм 5 см = 350 мм
3 м 5 дм = 3500 см

б)
3 км 5 м = 3 005 м
3 км 5 м = 30 050 дм
3 км 5 м = 300 500 см
3 км 5 м = 3 005 000 мм
3 км 5 см = 3 000 050 мм

9. Выполни действия:

а) (30 км – 5 км 964 м) : 6 = (24 км 36 м) : 6 = 8 км 6 м
б) 40 км 20 м – 78 м 28 мм • 500 = 40 км 20 м — 39 км 14 м = 1 км 6 м

10. Запиши множество делителей и множество кратных числа 21.

11. Расположи 9 элементов в множествах А, В и C так, чтобы в множестве А было 2 элемента, в множестве B – 5 элементов, а в множестве С – 7 элементов. Найди разные варианты решения этой задачи.

Страница 30

1. Выполни умножение с комментированием:

1. Умножим 36 на 9 единиц, получим 324 единиц.
2. Умножим 36 на 7 десятков, получим 252 десятков. Записываем число 252 со сдвигом на 1 разряд влево.
3. Складываем полученные числа.
Ответ: 2844.

1. Умножим 17 на 4 единиц, получим 68 единиц.
2. Умножим 17 на 5 десятков, получим 85 десятков. Записываем число 85 со сдвигом на 1 разряд влево.
3. Складываем полученные числа.
Ответ: 918.

в) 635 • 46 = 29 210

х 635
46
+ 3810
2540
29210

1. Умножим 635 на 6 единиц, получим 3810 единиц.
2. Умножим 635 на 4 десятка, получим 2540 десятков. Записываем число 2540 со сдвигом на 1 разряд влево.
3. Складываем полученные числа.
Ответ: 29210.

г) 281 • 38 = 10678

х 281
38
+2248
843
10678

1. Умножим 281 на 8 единиц, получим 2248 единиц.
2. Умножим 281 на 4 десятка, получим 843 десятков. Записываем число 843 со сдвигом на 1 разряд влево.
3. Складываем полученные числа.
Ответ: 10678.

д) 508 • 75 = 38 100

х 508
75
+ 2540
3556
38100

1. Умножим 508 на 5 единиц, получим 2540 единиц.
2. Умножим 508 на 7 десятков, получим 3556 десятков. Записываем число 3556 со сдвигом на 1 разряд влево.
3. Складываем полученные числа.
Ответ: 38100.

е) 902 • 23 = 20 746

х 902
23
+2706
1804
20746

1. Умножим 902 на 3 единицы, получим 2706 единиц.
2. Умножим 902 на 2 десятка, получим 1804 десятков. Записываем число 1804 со сдвигом на 1 разряд влево.
3. Складываем полученные числа.
Ответ: 20746.

ж) 4205 • 97 = 407 885

х 4205
97
+29435
37845
407885

1. Умножим 4205 на 7 единиц, получим 29435 единиц.
2. Умножим 4205 на 9 десятков, получим 37845 десятков. Записываем число 37845 со сдвигом на 1 разряд влево.
3. Складываем полученные числа.
Ответ: 407885.

з) 9003 • 61 = 549 183

х 9003
61
+ 9003
54018
549183

1. Умножим 9003 на 1 единицу, получим 9003 единиц.
2. Умножим 9003 на 6 десятков, получим 54018 десятков. Записываем число 54018 со сдвигом на 1 разряд влево.
3. Складываем полученные числа.
Ответ: 549183.

2. Найди неизвестные значения величин по формуле стоимости С = а * n

3. Вырази в указанных единицах измерения:

а)
2 км 8 м = 2008 м
2 м 8 см = 208 см
2 дм 8 мм = 208 мм
2 м 8 мм = 2008 мм

б)
2 ч 8 мин = 128 мин
2 сут. 8 ч = 3360 мин
2 т 8 кг = 2008 кг
2 т 8 ц = 2800 кг

4. а) Килограмм клубники стоит 90 р. Сколько рублей надо заплатить за 2 кг такой клубники?

90 * 2 = 180 (р.) — стоит 2 кг клубники.
Ответ: 180 рублей.

б) За 5 одинаковых электронных дисков с играми заплатили 800 р. Сколько рублей стоит один диск?

800 : 5 = 160 (р.) — стоит один диск.
Ответ: 160 рублей.

5. Цена одного билета на поезд равна 800 р. Сколько таких билетов можно купить на 2000 р.? Сколько рублей ещё останется?

2000 : 800 = 2 (ост. 400) (б.) можно купить.
Ответ: 2 билета, 400 рублей.

6. Реши уравнения с комментированием и сделай проверку:

а)
(900 – x : 6) • 5 = 4200
900 – x : 6 = 4200 : 5
900 – x : 6 = 840
x : 6 = 900 — 840
x : 6 = 60
х = 60 * 6
х = 360

б)
325 + (90 – n) : 17 = 330
(90 – n) : 17 = 330 — 325
(90 – n) = 5 * 17
90 – n = 85
n = 90 — 85
n = 5

7. В строке 56 печатных знаков, а на странице – 36 строк. Сколько печатных знаков уместится на 64 страницах?

1) 56 * 36 = 2016 (з.) — поместится на странице.
2) 2016 * 64 = 129 024 (з.) — поместится н 64 страницах.

х 2016
64
+ 8064
12096
129024
Ответ: 129 024 знака

8. а) Поезд шёл 18 ч со скоростью 76 км/ч и 16 ч со скоростью 72 км/ч. Какое расстояние прошёл поезд за всё это время?

1) 76 * 18 = 1368 (км) — поезд прошел со скоростью 76 км/ч.

2) 72 * 16 = 1152 (км) — прошел скоростью 72 км/ч.

3) 1368 + 1152 = 2520 (км) — прошел поезд.
Ответ: 2520 км.

б) Почтальон проехал на велосипеде 36 км за 2 ч. Затем он уменьшил скорость на 2 км/ч и ехал ещё 3 ч. Сколько всего километров проехал на велосипеде почтальон?

1) 36 : 2 = 18 (км/ч) — была скорость почтальона.
2) 18 — 2 = 16 (км/ч) — стала скорость почтальона.
3) 169 * 3 = 48 (км) — проехал со скоростью 16 км/ч.
4) 36 + 48 = 84 (км) — всего проехал почтальон.
Ответ: 84 км.

9. Почтовый голубь должен доставить донесение на расстояние 130 км. Скорость голубя 50 км/ч. Успеет ли он доставить это донесение: а) за 2 часа? б) за 3 часа?

За 2 часа успеет, за 3 нет.

Страница 31

10. Запиши предложение в виде равенства:

а) n на 17 меньше, чем m

б) x в 8 раз меньше, чем y

в) a на 92 меньше, чем b

г) k в 5 раз больше, чем d

11. Продолжительность дня равна t ч. Чему равна продолжительность ночи? Составь выражение и найди его значение, если t = 8, 10, 12. Какие значения может принимать переменная t?

t = 8, 24 — 8 = 16 ч.
t = 10, 24 — 10 = 14 ч.
t = 12 24 — 12 = 12 ч.

12. Запиши программу действий в виде выражения со скобками. Найди значение полученного выражения.

(2488 + 4512) * 593 − (485830 − 37598) : 8 = 7000 * 593 − 448232 : 8 = 4151000 − 56029 = 4094971

13. Реши уравнения устно. Расположи ответы в порядке возрастания. Расшифруй имя сказочного героя. Узнай название книги и имя её автора.

М 9 + b = 12 b = 3
А 52 : t = 13 t = 4
Т a · 50 = 250 a = 5
Р 34 – x = 17 х = 17
О 90 : d = 5 d = 18
C 40 – c = 12 c = 28
К n – 2 7 = 8 n = 35
И 8 • m = 480 m = 60
Н k : 19 = 4 к = 76

МАТРОСКИН из ПРОСТОКВАШИНО, автор Эдуард Успенский.

14. Запиши множество делителей и множество кратных числа 22.

15. В классе 25 учеников. Им было предложено заниматься в двух кружках: по математике и рисованию. В каждый кружок записалось по 16 человек, причём 10 человек – в оба кружка одновременно. Узнав результаты, ребята удивились: «Можно подумать, что в нашем классе не 25 учеников, а все 42!» Но один любитель математики сказал: «Вовсе нет! У нас даже несколько ребят не записались ни в один из этих кружков!»
Докажи, что он прав. Сколько таких ребят?

1) 16 – 10 = 6 (уч.) – занимаются только математикой и только окружающим миром,
2) 6 + 10 + 6 = 22 (уч.) – занимаются в данных кружках,
3) 25 – 22 = 3 (уч.) – не занимаются в данных кружках.
Ответ: 3 ученика не занимаются, значит любитель математики прав.

Страница 32

1. а) Что общего в выражениях? Вспомни правило умножения круглых чисел и вычисли:

400 • 70 = 4 * 7 * 1000 = 28000
160 • 300 = 16 * 3 * 1000 = 48 000
9 • 80 000 = 9 * 8 * 10 000 = 720 000
250 • 4000 = 25 * 4 * 10 000 = 1 000 000

б) Как записывают умножение круглых чисел в столбик? Почему? Приведи свой пример.

Записывают так, чтобы не умножать на ноли в конце числа, но после их учитывают в результате.

2. Выполни действия:

х 360
7500
+180
252
2700000

б) 2800 • 940 = 2 632 000

х 2800
940
+112
252
2632000

в) 50 900 • 62 = 3 155 800

х 62
50900
+ 558
310
3155800

г) 73 050 • 8600 = 623 230 000

3. Вычисли. Расположи ответы в порядке убывания. Расшифруй имя короля сказочного государства, который избавил детей от скучных занятий в школе. Узнай название этой книги и имя её автора.

4. Составь программу действий и вычисли:

2 5 3 4 1
а) 860 • 900 – 6750 : 5 • (24 + 44) = 682 200

1) 24 + 44 = 68
2) 860 * 900 = 774 000

х 860
900
774000

4) 1350 * 68 = 91800

х 1350
68
+1080
810
91800

5) 774 000 — 91 800 = 682 200

— 774000
91800
682200

1 2 3 5 4
б) (64 + 137) • 28 • 910 – 560 772 : 9 = 5 059 172

1) 64 + 137 = 201
2) 201 * 28 = 5 628

3) 5 628 * 910 = 5 121 480

х 5628
910
+ 5628
50652
5121480

4) 560772 : 9 = 62 308

5) 5 121 480 — 62 308 = 5 059 172

5. Сравни в каждом равенстве числа, обозначенные буквами. Какое из них больше, а какое меньше? На сколько?

a = b + 18 a > b
k – t = 5 k > t
x = y – 9 x < y
n – 4 = m n > m

Страница 33

6. Реши уравнения с комментированием и сделай проверку:

а)
(k : 16) • 13 + 11 = 50
(k : 16) • 13 = 50 — 11
(k : 16) • 13 = 39
k : 16 = 39 : 13
k : 16 = 3
k = 3 * 16
k = 48
Проверка:
(48 : 16) • 13 + 11 = 50
50 = 50

б)
14 – 72 : (d – 3) = 8
72 : (d – 3) = 14 — 8
72 : (d – 3) = 6
d – 3 = 72 : 6
d – 3 = 12
d = 15
Проверка:
14 – 72 : (15 – 3) = 8
8 = 8

7. а) Одна роза стоит 40 р. Сколько надо заплатить за букет из 7 роз?

40 * 7 = 280 (р.) — стоит букет роз.
Ответ: 280 рублей.

б) Одна конфета стоит 12 р. Сколько таких конфет можно купить на 60 рублей?

60 : 12 = 5 (к.) можно купить.
Ответ: 5 конфет.

в) За 20 календарей заплатили 1800 р. Сколько рублей стоит один календарь?

1800 : 20 = 90 (р.) — стоит календарь.
Ответ: 90 рублей.

8. За футболку и 4 пары носков заплатили 200 рублей. Футболка стоит 80 р. Сколько рублей стоит одна пара носков?

1) 200 = 80 = 120 (р.) — стоит 4 пары носков.
2) 120 : 4 = 30 (р.) — стоит пара носков.
Ответ: 30 рублей.

9. У Оли было 200 р. Она купила 3 тетради по цене 15 р., 2 ручки по 37 р. и 6 карандашей по 8 р. Сколько денег у неё осталось? Сможет ли она купить на них шоколадку за 32 р.?

1) 15 * 3 = 45 (р.) — стоили тетради.
2) 37 * 2 = 72 (р.) стоили ручки.
3) 8 * 6 = 48 (р.) — стоили карандаши.
4) 45 + 72 + 48 = 165 (р.) — стоила покупка.
5) 200 — 165 = 35 (р.) — осталось.
32 < 35 — да сможет купить шоколадку.
Ответ: осталось 35 рублей. Сможет купить шоколадку.

10. Запиши множество делителей и множество кратных числа 23.

11. Масса первого арбуза равна a кг. Масса второго арбуза – на 3 кг меньше массы первого. А масса третьего арбуза – в 2 раза больше массы второго. Чему равна масса трёх арбузов вместе? Составь выражение и найди его значение при a = 8.

Составляем выражение
a + (a — 3) + (a — 3) * 2

При а = 8
8 + (8 — 3) + (8 — 3) * 2 = 8 + 5 + 10 = 23 (кг) масса арбузов.
Ответ: 23 кг.

12. Тарас бежит со скоростью 150 м/мин, а Юра – со скоростью 12 км/ч. Кто из них бежит быстрее?

150 : 1000 * 60 = 9000 : 1000 = 9 (км/ч) скорость Тараса.
9 < 12 Тарас бежит медленнее.
Ответ: Юра быстрее.

13. Записано подряд семь семёрок. Найди такой способ расстановки скобок и знаков арифметических действий, чтобы значение полученного выражения было равно 7. Какие ещё значения выражений могут при этом получаться? Как ты думаешь, в каком случае значение полученного выражения будет наибольшим?

Наибольшее значение: 777 • 7777 = 6042729

1. Прочитай задачу и объясни, как составлена таблица. Составь план решения задачи и найди ответ.

«Месяц назад 2 одинаковые порции мороженого стоили 36 р. Сейчас его цена увеличилась на 2 р. Сколько теперь надо заплатить за 5 таких порций мороженого?»

1) 36 : 2 = 18 (р.) — стоило мороженое.
2) 18 + 2 = 20 (р.) — стоит мороженое сейчас.
3) 20 * 5 = 100 (р.) — стоит 5 мороженных.
Ответ: 100 рублей.

2. Реши задачи с помощью таблиц:

а) Маша купила 7 заколок, а Вера – на 2 заколки меньше. Цена всех заколок одинаковая. Маша заплатила на 140 р. больше Веры. Сколько стоит одна заколка? Сколько рублей заплатила за заколки каждая из девочек?

б) Саша и Дима купили вместе 20 солдатиков по одинаковой цене. Саша заплатил 720 р., а Дима – на 240 р. меньше. Сколько солдатиков купил каждый из них?

3. а) 9 пирожных, имеющих одну цену, стоят 234 р. Сколько рублей надо заплатить за 7 таких пирожных?

1) 234 : 9 = 26 (р.) — стоит пирожное.
2) 26 * 7 = 182 (р.) — стоит 7 пирожных.
Ответ: 182 рубля.

б) Мама сначала купила 3 кг яблок по цене 40 р. за килограмм, а потом ещё 2 кг таких же яблок. Сколько денег она заплатила?

1) (3 + 2) * 40 = 5 * 40 = 200 (р.) — заплатила мама.
Ответ: 200 рублей.

4. Для осенних посадок купили 60 пакетов луковиц тюльпанов по цене 15 р. за пакет, а нарциссов – на 25 пакетов меньше. Цена пакета нарциссов на 3 р. меньше, чем цена пакета тюльпанов. Сколько рублей надо заплатить за всю эту покупку?

1) 60 * 15 = 900 (р.) — стоили тюльпаны.
2) 60 — 25 = 35 (п.) — купили нарциссов.
3) 15 — 3 = 12 (р.) — стоит пакетик нарциссов.
4) 35 * 12 = 420 (р.) — стоят нарциссы.
5) 420 + 900 = 1320 (р.) — стоит покупка.
Ответ: 1320 рублей.

Страница 35

5. Вычисли устно наиболее удобным способом:

а) 126 + 99 = 125 + 100 = 225
д) 997 • 452 + 3 • 452 = 452 * (997 + 3) = 452 * 1000 = 452 000
б) 532 – 98 = 530 — 100 + 2 + 2 = 434
е) 284 + 98 + 116 + 2 = 400 + 100 = 500
в) 20 • 142 • 5 = 142 * 100 = 14 200
ж) (939 + 56) – 239 = 939 — 239 + 56 = 700 + 56 = 756
г) 73 • 25 • 4 = 73 * 100 = 7 300
з) 721 – 96 – 621 = 100 — 96 = 4

6. Выполни умножение:

х 450
7600
+ 270
315
3420000

б) 58 000 • 4700 = 272 600 000

х 58000
4700
+ 406
232
272600000

в) 20 560 • 950 = 19 532 000

х 20560
950
+ 10280
18504
19532000

г) 69 • 300 800 = 20 755 200

х 300800
69
+27072
18048
20755200

7. Реши уравнения с комментированием и сделай проверку:

а) (980 : n) • 18 – 84 = 276
(980 : n) • 18 = 276 + 84
(980 : n) = 360 : 18
980 : n = 20
n = 980 : 20
n = 49
Проверка:
(980 : 20) • 18 – 84 = 276
276 = 276

б) 96 + (80 – x) : 14 = 100
(80 – x) : 14 = 100 — 96
80 – x = 4 * 14
80 – x= 56
х = 80 — 56
х = 24
Проверка:
96 + (80 – 24) : 14 = 100
100 = 100

8. По рисунку найди делимое, делитель, частное и остаток. Запиши соотношение между ними с помощью формулы a = b • c + r, r < b. Проверь записанное равенство с помощью вычислений.

9. Запиши множество делителей и множество кратных числа 24.

10. Сравни в каждом равенстве числа, обозначенные буквами. Какое из них больше, а какое меньше? На сколько?

n = m • 3 — m < n в 3 раза
c • 10 = d — c < d в 10 раз
k : t = 2 — k > t в 2 раза
a : b = 6 — a > b в 6 раз
p : 5 = r — p > r в 5 раз
y = x : 8 — y < x в 8 раз

11. Длина класса, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, равна 12 м, ширина – 8 м, а высота – 4 м. Найди объём этого класса, площадь его пола, потолка, стен.

1) 8 * 4 = 32 (м 2 ) — площадь каждой из двух стен по ширине.
2) 12 * 4 = 48 (м 2 ) — площадь каждой из двух других стен по длине.
3) 12 * 8 = 96 (м 2 ) — площадь пола или потолка.
4) 96 * 4 = 384 (м 3 ) — объем класса.
Ответ: площадь стен 32 м 2 , 48 м 2 , потолка или пола 96 м 2 , объем 384 м 3 .

12. Какие из прямоугольных параллелепипедов A, B, C, D, E могут иметь данную на рисунке развёртку?

Страница 36

1. Выполни действия:

х 916
73
+2748
6412
66868

б) 850 • 3800 = 3 230 000

х 850
3800
+ 680
255
3230000

в) 20 900 • 9400 = 196 460 000

х 20900
9400
+ 836
1881
196460000

г) 60 080 • 460 = 27 636 800

2. Придумай задачи по таблицам и реши их с помощью формулы стоимости:

1. Мама купила в магазине 5 пирожков по 46 рублей и 8 булочек по 27 рублей. На сколько больше мама заплатила за пирожки, чем за булочки?
1) 46 * 5 = 230 (р.) — стоили пирожки.
2) 27 * 8 = 216 (р.) — стоили булочки.
3) 230 — 216 = 14 (р.) — на столько дороже были пирожки, чем булочки.
Ответ: на 14 рублей.

2. Мама купила 6 пирожков за 192 рубля и 4 пирожных за 384 рубля. во сколько раз пирожное дороже пирожка.
1) 192 : 6 = 32 (р.) — стоит пирожок.
2) 384 : 4 = 64 (р.) — стоит пирожное
3) 64 : 32 = 2 (раза) — во столько дороже пирожное.
Ответ: 2 раза.

а) Мама купила 3 м шёлка по a р. за метр и 5 м ситца по b р. за метр. Сколько рублей она заплатила за всю покупку?

б) Цена конфеты n р. Вадим купил 6 таких конфет, и у него ещё осталось t р. Сколько денег у него было вначале?

в) Саше надо купить 7 бубликов по k р. за штуку. В кассу он отдал y р. Сколько сдачи он должен получить?

г) Цена арбуза a р. за килограмм, а дыни – b р. за килограмм. На сколько рублей дыня массой в 5 кг дороже арбуза массой 6 кг?

4. У Алёши в кошельке 6 монет по 5 р., две монеты по 10 р. и одна купюра 50 р. Он купил 3 тетради по цене 18 р., ластик за 12 р. и линейку за 19 р. На оставшиеся деньги он решил купить ластики. Сколько ластиков он сможет купить, если их цена 5 р. за штуку?

1) 5 * 6 + 10 * 2 + 50 = 100 (р.) — было у Алеши.
2) 18 * 3 + 12 + 19 = 79 (р.) — потратил на покупку.
3) 100 — 79 = 21 (р.) — осталось.
4) 21 : 5 = 4 (ост. 1) (л.) — сможет купить.
Ответ: 4 ластика.

5. Реши уравнения с комментированием и проверкой:

а) (24 – 360 : x) · 6 = 90
24 – 360 : x = 90 : 6
360 : x = 24 — 15
360 : x = 9
х = 360 : 9
х = 40
Проверка:
(24 – 360 : x) · 6 = 90
90 = 90

б) 4 + (у – 14) : 3 = 20
(у – 14) : 3 = 20 — 4
у – 14 = 16 * 3
у = 48 + 14
у = 62
Проверка:
4 + (у – 14) : 3 = 20
20 = 20

Страница 37

6. Сравни в каждом равенстве числа, обозначенные буквами:

n – 8 = d n > d
p = t + 9 p > t
a – k = 2 a > k
c : b = 8 c > b
x • 5 = y x < y
r = m : 7 m > r

7. Вырази величины в указанных единицах измерения:

а)
4 км 25 м = 4025 м
4 м 25 см = 425 см
4 м 25 мм = 4025 мм
4 м 2 25 дм 2 = 425 дм 2
4 дм 3 25 см 3 = 64 025 см 3

б)
4 ц 25 кг = 425 кг
4 т 25 кг = 4025 кг
4 кг 25 г = 4025 г
4 ч 25 мин = 265 мин
4 мин 25 с = 265 с

8. Вычисли. Расположи ответы в порядке убывания и расшифруй слово. Найди в словаре, что оно означает. Припомни, а с тобой это случалось?

К 4900 * 507 = 2 484 300
У 3008 * 720 = 2 165 760
Р 890 * 480 = 427 200
Ё 892 * 53 = 47 276
Ь 2070 * 92 = 190 440
З 570 * 75 = 42 750

9. Запиши множество делителей и множество кратных числа 25.

10. Набери указанную сумму денег наименьшим возможным числом монет и купюр. Составь и заполни таблицу в тетради.

11. Подбери корни уравнений. Обоснуй свой ответ.

а) x + x + x + x = 4 • 752
4х = 3008
х = 3008 : 4
х = 752

б) (y + 7) • 5 = 8 • 5 + 7 • 5
(y + 7) • 5 = 40 + 35
(y + 7) • 5 = 75
y + 7 = 75 : 5
y + 7= 15
у = 8

12. Одно из чисел увеличили в 12 раз, а другое уменьшили в 3 раза. Как изменилось произведение этих чисел?

Можно записать в виде выражения. a * 12 * b : 3 = a * 4 * b То есть их произведение увеличилось в 4 раза.

Страница 38

1. а) Объясни по рисунку, как умножить число на сумму, и выполни умножение:

а • (b + c + d) = a • b + a • c + a • d
Можно вынести за скобки общий множитель, а числа сложить между собой
156 • 324 = 156 • (300 + 20 + 4) = 156 * 324 = 50 544

б) Используя рисунок, объясни способ записи умножения на трёхзначное число в столбик:

Умножаем отдельно единицы, десятки, сотни и т.д, при этом результаты складываем, смещая их при сложении столбиком на один разряд влево.

2. В одной упаковке 248 ластиков. Сколько ластиков в 536 упаковках? Найди ответ в данной записи примера. Можно ли по этой записи определить, сколько ластиков в 6 упаковках, в 30 упаковках, в 500 упаковках, в 5360 упаковках?

Найти сколько ластиков в 6 упаковках, в 30 упаковках, в 500 упаковках, в 5360 упаковках можно выбирая значения из умножения столбиком.
Так для 30 упаковок это 744 десятка, то есть 7 440.
Для 500 упаковок 1240 сотен, то есть 124 000.
Для 5360 надо результат умножить на 10 или добавить в конце ноль, то есть 1 329 280

Страница 39

3. За вод за один день выпускает 485 автомобилей. На какие вопросы можно ответить по данной записи примеров?

Сколько выпускает за 5 дней, за 6 дней, за 60 дней, за 300 дней.

Можно ли, не вычисляя, сказать, на сколько второе произведение больше первого?

Да, можно. На 485, так как в левом примере 485 взято 365 раз, а в правом 366.

4. Найди значения выражений:

х 752
128
+6016
1504
752
96256

б) 246 • 496 = 122 016

х 246
496
+1476
2214
984
122016

в) 405 • 527 = 213 435

х 405
527
+ 2835
910
2025
213435

г) 906 • 358 = 324 348

х 906
358
+ 7248
4530
2718
324348

д) 1029 • 374 = 384 846

х 1029
374
+ 4116
7203
3087
384846

е) 8503 • 982 = 8 349 946

х 8503
982
+ 17006
68024
76527
8349946

ж) 5007 • 716 = 3 585 012

х 5007
716
+ 30042
5007
35049
3585012

з) 30 209 • 245 = 7 401 205

х 30209
245
+ 151045
120836
60418
7401205

5. Вычисли. Расшифруй слово, расположив ответы примеров в порядке возрастания. Кто это? Найди информацию о нём в Интернете или энциклопедии.

Б 2580 * 27 = 69 660
Е 364 * 214 = 77 896
Р 706 * 329 = 232 274
К 569 * 456 = 259 464
У 508 * 652 = 331 216
Т 47045 * 84 = 3 951 780

БЕРКУТ — хищная птица семейства ястребиных, самый крупный орёл.

6. Реши уравнения и сделай проверку:

а)
62 – (116 + x) : 5 = 34
(116 + x) : 5 = 62 — 34
(116 + x) : 5 = 28
116 + x = 28 * 5
х = 140 — 116
х = 24
Проверка:
62 – (116 + 24) : 5 = 34
34 = 34

б) 540 : (y • 3 – 60) = 6
y • 3 – 60 = 540 : 6
y • 3 – 60 = 90
y • 3 = 150
y = 150 : 3
у = 50
Проверка:
540 : (50 • 3 – 60) = 6
6 = 6

а) Олег съел n пирожков, а Саша – на 3 пирожка меньше. Во сколько раз меньше пирожков съел Саша, чем Олег?

б) У Маши b марок, а у Гены в 5 раз меньше. Сколько марок у них вместе?

в) Аня шла 2 ч со скоростью x км/ч, а Поли на – 4 ч со скоростью y км/ч. На сколько километров больше прошла Полина, чем Аня?

г) В вазе было c груш. Из неё взяли 6 раз по d груш. Сколько груш осталось в вазе?

д) Три одинаковые конфеты стоят k р. Сколько рублей надо заплатить за 8 таких конфет?

Страница 40

8. а) Поезд прошёл расстояние 560 км со скоростью 70 км/ч, а расстояние 240 км – со скоростью 60 км/ч. Сколько времени он был в пути?

1) 560 : 70 = 8 (ч.) поезд ехал со скоростью 70 км/ч.
2) 240 : 60 = 4 (ч.) поезд ехал со скоростью 60 км/ч.
3) 8 + 4 = 12 (ч.) ехал поезд.
Ответ: 12 часов.

б) Для спортивного зала купили на 560 р. резиновые мячи по цене 70 р. за штуку и на 240 р. теннисные мячи по цене 60 р. за штуку. Сколько всего мячей купили? Что ты замечаешь?

1) 560 : 70 = 8 (м.) — купили по 70 р.
2) 240 : 60 = 4 (м.) — купили по 60 р.
3) 8 + 4 = 12 (м.) — всего купили.
Ответ: 12 мячей.

Придумай свою задачу с другими величинами, которая решается так же

Автомобиль проехал 560 км со скорость 70 км/ч, а мотоциклист 240 км, со скоростью 60 км/ч. Сколько часов в пути был мотоцикл и автомобиль.

1) 560 : 70 = 8 (ч.) — ехал автомобиль.
2) 240 : 60 = 4 (ч.) — ехал мотоциклист.
3) 8 + 4 = 12 (ч.) — ехали мотоцикл и автомобиль.
Ответ: 12 часов.

9. Выполни вычисления по алгоритму, заданному блок схемой. Составь и заполни таблицу в тетради

10. Сравни, не вычисляя:

352 • 218 = 218 • 352
920 • 614 = 614 • 920
516 • 724 < 724 • 521

306 • 825 > 294 • 438
368 : 8 >368 : 23
504 : 56 < 672 : 56

11. Повтори римскую нумерацию (ч. 1, с. 62).

а) Запиши арабскими цифрами числа: VII, IX, XXIV, XLVI, CCCIV, DCCXII, MLVI.

б) Запиши римскими цифрами числа: 4, 11, 36, 59, 93, 125, 408, 2002

IV, XI, XXXVI, LIX, XCIII, CXXV, CDVIII, MMII

12. В одной книге указан та кой год издания: МDCCXLIX. Когда издана эта книга?

Страница 41

1. Рассмотри два способа умножения на трёхзначное число, в разряде десятков которого стоит 0. Чем отличаются эти способы? Почему в практике вычислений обычно используется второй способ?

Продолжение следует. Пишите, на какой странице выполняете задания

Задачи на движение для 4 класса — формулы и примеры решений

Существует несколько типов задач на движение. Примеры решения всех типов задач с пояснениями мы рассмотрим в этой статье.

Задачи на движение в одном направлении

Задачи на движении в одном направлении относятся к одному из трех основных видов задач на движение.
Если два объекта выехали из одного пункта одновременно, то, поскольку они имеют разные скорости, объекты удаляются друг от друга. Чтобы найти скорость удаления, надо из большей скорости вычесть меньшую:

Если из одного пункта выехал один объект, а спустя некоторое время в том же направлении вслед за ним выехал другой объект, то они могут как сближаться, так и удаляться друг от друга.
Если скорость объекта, движущегося впереди, меньше движущегося вслед за ним объекта, то второй догоняет первого и они сближаются.
Чтобы найти скорость сближения, надо из большей скорости вычесть меньшую:

Если скорость объекта, который идет впереди, больше скорости объекта, который движется следом, то второй не сможет догнать первого и они удаляются друг от друга.
Скорость удаления находим аналогично — из большей скорости вычитаем меньшую:

Задачи на скорость сближения

Из города выехал автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через 4 часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый?

Решение :

Так как на момент выезда второго автомобиля из города первый уже был в пути 4 часа, то за это время он успел удалится от города на:

Второй автомобиль движется быстрее первого, значит каждый час расстояние между автомобилями будет сокращаться на разность их скоростей:

60 — 40 = 20 (км/ч) – это скорость сближения автомобилей

Разделив расстояние между автомобилями на скорость их сближения, можно узнать, через сколько часов они встретятся:

Решение задачи по действиям можно записать так:

1) 40 · 4 = 160 (км) – расстояние между автомобилями

2) 60 — 40 = 20 (км/ч) – скорость сближения автомобилей

Ответ: Второй автомобиль догонит первый через 8 часов.

Из двух посёлков между которыми 5 км, одновременно в одном направлении вышли два пешехода. Скорость пешехода, идущего впереди, 4 км/ч, а скорость пешехода, идущего позади 5 км/ч. Через сколько часов после выхода второй пешеход догонит первого?

Так как второй пешеход движется быстрее первого, то каждый час расстояние между ними будет сокращаться. Значит можно определить скорость сближения пешеходов:

Оба пешехода вышли одновременно, значит расстояние между ними равно расстоянию между посёлками (5 км). Разделив расстояние между пешеходами на скорость их сближения, узнаем через сколько второй пешеход догонит первого:

Решение задачи по действиям можно записать так:

1) 5 — 4 = 1 (км/ч) – это скорость сближения пешеходов

Ответ: Через 5 часов второй пешеход догонит первого.

Из одного села в одном направлении одновременно выехали два велосипедиста. Скорость одного из них — 15 км/ч, скорость другого — 12 км/ч. Какое расстояние будет через ними через 4 часа?

Решение:

1) 15-12=3 (км/ч) скорость удаления велосипедистов

2) 3∙4=12 (км) такое расстояние будет между велосипедистами через 4 часа.

Ответ: Через 4 часа расстояние между велосипедистами составит 12 км.

Задача 4

Из села на станцию одновременно вышел пешеход и выехал велосипедист. Через 2 часа велосипедист опережал пешехода на 12 км. Найти скорость пешехода, если скорость велосипедиста 10 км/ч.

Решение:

1) 12:2=6 (км/ч) скорость удаления велосипедиста и пешехода

2) 10-6=4 (км/ч) скорость пешехода.

Ответ: Скорость пешехода составляет 4 км/ч.

Задачи на скорость удаления

Задача 1

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля 80 км/ч, а скорость второго – 40 км/ч.

Решение:

Сначала узнаем скорость удаления автомобилей друг от друга, для этого вычтем из большей скорости меньшую:

Каждый час автомобили отдаляются друг от друга на 40 км. Теперь можно узнать сколько километров будет между ними через 3 часа, для этого скорость удаления умножим на 3:

Чтобы узнать через сколько часов расстояние между автомобилями станет 200 км, надо расстояние разделить на скорость удаления:

Ответ:

Движение навстречу друг другу

Если два объекта движутся навстречу друг другу, то они сближаются. Чтобы найти скорость сближения двух объектов, движущихся навстречу друг другу, надо сложить их скорости:

Скорость сближения больше, чем скорость каждого из них.

Из поселка и города навстречу друг другу, одновременно выехали два автобуса. Один автобус до встречи проехал 100 км со скоростью 25 км/час. Сколько километров до встречи проехал второй автобус, если его скорость 50 км/час.

1) 100 : 25 = 4 (часа ехал один автобус)

2) 50 * 4 = 200

Решение в виде выражения: 50 * (100 : 25) = 200

Ответ: второй автобус проехал до встречи 200 км.

Расстояние между двумя пристанями 90 км. От каждой из них одновременно навстречу друг другу вышли два теплохода. Сколько часов им понадобится чтобы встретиться, если скорость первого 20 км/час, а второго 25 км/час?

1) 25 + 20 = 45 (сумма скоростей теплоходов)

Решение в виде выражения:90 : (20 + 25) = 2

Ответ: Теплоходы встретятся через 2 часа.

От двух станций, расстояние между которыми 564 км., одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость одного из них 63 км/час. Какова скорость второго, если поезда встретились через 4 часа?

1) 63 * 4 = 252 (прошел 1 поезд)

2) 564 — 252 =312 (прошел 2 поезд)

Решение в виде выражения (63 * 4 — 252) : 4 = 78

Ответ: Скорость второго поезда 78 км/час.

Задача 4

Два велосипедиста выехали навстречу друг другу. Скорость одного из низ 12 км/ч, а другого — 10 км/ч. Через 3 часа они встретились. Какое расстояние было между ними в начале пути?

Решение:

1) 12+10=22 (км/ч) скорость сближения велосипедистов

2) 22∙3=66 (км) было между велосипедистами в начале пути.

Ответ: Расстояние между велосипедистами в начале пути было 66 км.

Два поезда идут навстречу друг другу. Скорость одного из них 50 км/ч, скорость другого — 60 км/ч. Сейчас между ними 440 км. Через сколько часов они встретятся?

Решение:

1) 60+50=110 (км/ч) скорость сближения поездов

2) 440:110=4 (ч) время, через которое поезда встретятся.

Ответ: Поезда встретятся через 4 часа.

Движение в противоположных направлениях

Если два объекта движутся в противоположных направлениях, то они удаляются. Чтобы найти скорость удаления, надо сложить скорости этих объектов:

Скорость удаления больше скорости любого из них.

Из поселка вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Средняя скорость одного пешехода – 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 27 км ?

Чтобы найти время движения пешеходов, нужно знать расстояние и скорость пешеходов. Мы знаем, что за каждый час один пешеход удаляется от поселка на 5 км, а другой пешеход удаляется от поселка на 4 км. Можем найти их скорость удаления.

1. (км/ч)

Мы знаем скорость удаления и знаем все расстояние – 27 км. Можем найти время, через которое пешеходы удалятся друг от друга на 27 км, для этого нужно расстояние разделить на скорость.

2. (ч)

Ответ: Через три часа расстояние между переходами будет 27 км.

Из поселка вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Через 3 часа расстояние между ними было 27 км. Первый пешеход шел со скоростью 5 км/ч. С какой скоростью шел второй пешеход ?

Чтобы узнать скорость второго пешехода, надо знать расстояние, которое он прошел, и его время в пути. Чтобы узнать, какое расстояние прошел второй пешеход, надо знать, какое расстояние прошел первый пешеход и общее расстояние. Общее расстояние мы знаем. Чтобы найти расстояние, которое прошел первый пешеход, надо знать его скорость и его время в пути. Средняя скорость движения первого пешехода – 5 км/ч, его время в пути – 3 часа. Если среднюю скорость умножить на время в пути, получим расстояние, которое прошел пешеход:

1. (км)

Мы знаем общее расстояние и знаем расстояние, которое прошел первый пешеход. Можем теперь узнать, какое расстояние прошел второй пешеход.

2. (км)

Теперь мы знаем расстояние, которое прошел второй пешеход, и время, проведенное им в пути. Можем найти его скорость.

3. (км/ч)

Ответ: Скорость второго пешехода – 4 км/ч.

Товарный и пассажирский поезда движутся в противоположных направлениях. Скорость товарного 45 км/ч, скорость пассажирского — 70 км/ч. Сейчас между ними 20 км. Какое расстояние будет между ними через 2 часа ?

1) 70+45=115 (км/ч) скорость удаления поездов

2) 115∙2=230 (км) пройдут поезда вместе за 2 часа

3) 230+20=250 (км) такое расстояние между поездами будет через 2 часа.

Ответ: Через 2 часа расстояние между поездами составит 250 км.

Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях выехали два мотоциклиста. Скорость одного из них — 60 км/ч, скорость другого — 40 км/ч. Через какое время расстояние между ними станет равным 300 км?

1) 60+40=100 (км/ч) скорость удаления мотоциклистов

2) 300:100=3 (ч) через такое время расстояние между ними будет 300 км.

Ответ: Расстояние между мотоциклистами станет 300 км через 3 часа.

ВПР по математике 2020 — 5 класс (вариант 1)

2. Запишите в виде смешанного числа значение выражения .

Решение:
.
Ответ: получилась дробь: .

3. Запишите в ответ наименьшее из чисел: 3,42; 2,43; 4,23; 2,34.

4. В магазин завезли овощи. Две седьмых всех овощей — помидоры, а три седьмых всех овощей — огурцы. Сколько килограммов помидоров завезли в магазин, если огурцов завезли 105 кг?

Решение

105 : 3 = 35 (кг) — столько кг в 1/7 овощей
35 * 2 = 70 (кг помидор)
Ответ: в магазин завезли 70 кг помидор.

5. Какое число надо вписать в окошко, чтобы равенство стало верным?
261 + = 219 + 184

Чтобы найти число, которое должно быть вписано в окошко, произведем следующие действия:

219 + 184 = 403, тогда

Чтобы найти второе слагаемое, нужно из суммы вычесть первое слагаемое: 403 — 261 = 142.
Ответ: в окошко нужно вписать число 142.

6. За 40 минут Алексей проехал на автомоиле 42 км. Сколько километров Алексей проедет за 1 час 40 минут, если будет ехать с той же скоростью?

Решение

Если за 40 минут Алексей проехал на автомобиле 42 км, то это означает, что он едет со скорость: 42/40 км/мин. Тогда за время 1 час 40 минут = 100 минут Алексей проедет расстояние: 42/40 * 100 = 42/4 * 10 = 42/2 * 5 = 21 : 5 = 105 км.

Ответ: за 1 час 40 минут Алексей проедет 105 км.

7. На одну юбку нужно 1 метр и 20 сантиметров ткани. В ателье есть 8 метров такой ткани. Какое наибольшее число таких юбок можно из неё сшить?

Решение:

1 метр 20 см = 120 см

800 : 120 = 6 (ост. 80)
Ответ: можно сшить 6 юбок из 8 метров ткани, имеющейся в ателье.

8. В январе завод выпустил 300 холодильникеов, а в феврале 324. На сколько процентов выросло производство холодильников в феврале по сравнению с январём?

Пусть 300 холодильников — это 100%, тогда 300 : 100 = 3 (хол.) — это 1%.

Ответ: производство холодильников в феврале выросло на 8% по сравнению с январем.

9. Найдите значение выражения 162 + 20 ⋅ (5621 — 33) : 11 . Запишите решение и ответ.

Решение

1) 5621 — 33 = 5588;
2) 20 ⋅ 5588 = 111 760;
3) 111 760 : 11 = 10 160;
4) 162 + 10 160 = 10 322.
Ответ: 10 322.

10. В магазине продаётся офисная бумага разных торговых марок. В таблице даны количество листов в пачке и её цена. Нужно купить 1000 листов бумаги одной марки. Сколько рублей будет стоит наиболее дешёвая покупка?

Запишите решение и ответ.

Решение

Добавим в таблицу ещё один столбец:

Ответ: наиболее дешёвая покупка будет стоить 610 рублей.

11. На диаграмме показано, сколько желаний исполнит старик Хоттабыч в каждый день недели. Пользуясь этими данными, ответьте на вопросы.

11.1. В какой день старик Хоттабыч исполнил меньше всего желаний?

11.2. Сколько всего желаний исполнил старик Хоттабыч за три первые дня недели?

12. На рисунке дано поле, расчерченное на квадраты со стройной 3 см. На нём изображена фигура.
12.1. Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Всего на рисунке закрашено 8 квадратов. Площадь каждого из них 3 * 3 = 9 кв. см. Значит площадь закрашенной фигуры:

Так как площадь одного квадрата на поле 9 кв. см, то раздеми 135 на 9: 135 : 9 = 15. Получается, что фигура должна состоять из 15 квадратов, то есть это может быть прямоугольник со сторонами 3 и 5. Изобразим его на поле.

Ответ

13. От деревянного бруска размеров 30см*90см*100см отпилили несколько дощечек размером 8см*30см*50см. после этого остался брусок объёмом 54 000 см.кв. Сколько дощечек отпилили?

30 * 90 * 100 = 270 000 кв. см — объем деревянного бруска

270 000 — 54 000 = 216 000 — объем, который спилили

8 * 30 * 50 = 12 000 объем одной дощечки

216 000 : 12 000 = 18 дощечек

Ответ: отпилили 18 дощечек.

14. Оля купила пакетик орехов. Когда Оля съела один орех, число оставшихся орехов стало делиться на 2. Оля съела еще один орех, и оказалось, что число оставшихся орехов стало делиться на 5. Сколько еще орехов надо съесть Оле (как можно меньше), чтобы все оствшиеся орехи она смогла раздать поровну своим десяти подругам?

Предположим, что у Оли осталось 10 орех. К этом числу нужно добавить некоторое число, чтобы оно делилось на 5. Это будет число 5, так как 10 + 5 = 15, а 15 делится на 5.

Предположим, что у Оли осталось 20 орех. К этом числу нужно добавить некоторое число, чтобы оно делилось на 5. Это также будет число 5, так как 20 + 5 = 25, а 25 делится на 5.

Получается, что Оле надо съесть 5 орех, чтобы все оставшиеся орехи она смогла разделить поровну своим десяти подругам.

Задачи на движение с примерами решения

2) скорость тела при движении по течению реки равна , а при движении против течения равна , где — собственная скорость тела (скорость в стоячей воде); — скорость течения реки; плот движется со скоростью течения реки.

При составлении уравнений в задачах на движение часто используются следующие очевидные утверждения:

1) если два тела, находящиеся перед началом движения на расстоянии , движутся навстречу друг другу со скоростями и , то время, через которое они встретятся, равно

2) если два тела, находящиеся перед началом движения на расстоянии , движутся в одном направлении со скоростями и , где , то время, через которое второе тело (его скорость ) догонит первое, равно .

Примеры с решениями

Пример №194.

Пешеход и велосипедист отправляются одновременно из пункта в пункт . В пункте велосипедист поворачивает обратно и встречает пешехода через 20 мин после начала движения. Не останавливаясь, велосипедист доезжает до пункта , поворачивает обратно и догоняет пешехода через 10 мин после первой встречи. За какое время пешеход пройдет путь от до ?

Решение:

Пусть и — скорости (в километрах в час) соответственно пешехода и велосипедиста, — путь (в километрах) . Так как пешеход и велосипедист встретились через ч, пройдя вдвоем путь , то

За полчаса, истекших от начала движения до того момента, когда велосипедист догнал пешехода, разность пройденных ими расстояний была равна , т. е.

Запишем систему уравнений (1), (2) в виде f Vi + vo = 6s,

и вычтем из первого уравнения системы (3) второе. Получим , откуда найдем искомую величину

Пример №195.

Пристань находится выше по течению реки, чем пристань . Из и одновременно навстречу друг другу начали движение плот и моторная лодка. Достигнув пристани , моторная лодка немедленно повернула обратно и догнала плот в тот момент, когда он проплыл расстояния между и .

Найти время, которое затрачивает плот на путь из в , если моторная лодка проплывает из в и обратно за Зч.

Решение:

Пусть — расстояние между пунктами и , и — скорость течения реки, — скорость моторной лодки в стоячей воде. Тогда

Полагая запишем систему (4) в виде

Первое из уравнений системы (5) приводится к однородному уравнению откуда Подставив это выражение во второе уравнение системы (5), получаем откуда

Пример №196.

Из пункта в пункт вышел пешеход. Вслед за ним через 2 ч из пункта выехал велосипедист, а еще через 30 мин — мотоциклист. Все участники движения перемещались равномерно и без остановок.

Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что все трое преодолели одинаковую часть пути от до . На сколько минут раньше пешехода прибыл в пункт велосипедист, если пешеход прибыл туда на 1 ч позже мотоциклиста?

Решение:

Первый способ. Пусть — точка на пути , в которой одновременно оказались участники движения, , ; , , — скорости пешехода, велосипедиста и мотоциклиста соответственно, — искомое время. Используя условия задачи, составляем систему уравнений

Далее, из (6) получаем

и следовательно ,

Второй способ. Рассмотрим координатную плоскость, по оси абсцисс будем откладывать время , а по оси ординат — пройденный путь (рис. 17.1).

Пусть отрезки — графики движения пешехода, велосипедиста и мотоциклиста соответственно. По условию эти отрезки имеют общую точку с ординатой , точки лежат на прямой где — искомое время.

Так как то откуда

Пример №197.

Автомобилист и велосипедист, выехавшие одновременно соответственно из пунктов и , совершают безостановочное движение между этими пунктами. Доехав до пункта и повернув назад, автомобилист догнал велосипедиста через ч. после их первой встречи. Сколько времени после первой встречи ехал велосипедист до пункта , если к тому моменту, когда его обогнал автомобилист, он проехал пути от до ?

Решение:

Первый способ. Пусть — расстояние между пунктами и , и — скорости автомобиля и велосипедиста соответственно, — время (в часах) от начала движения до первой встречи. Тогда

Требуется найти величину Разделив почленно уравнения (10) и (9), получим

Из (8) и (11) следует, что

Наконец, из равенств (12) и (13) получаем и

Следовательно,

Ответ. 8 ч 45 мин.

Второй способ. Решим задачу, не составляя систему уравнений. От начала движения до того момента, когда автомобилист обогнал велосипедиста, они проехали и — пути от до . Поэтому отношение их скоростей равно

Следовательно, к моменту первой встречи участники движения проехали и пути от до . Но, затратив на дорогу еще ч, велосипедист проезжает всего пути. Значит, за 1ч он проезжает пути. Оставшуюся после первой встречи часть пути велосипедист проедет за

Пример №198.

Дорога проходит через пункты и . Велосипедист выехал из по направлению к . Одновременно с ним из пункта вышли с равными скоростями два пешехода: первый — в пункт , а второй — в противоположном направлении. Велосипедист проехал от до за 0,5ч и, продолжая движение, догнал второго пешехода. Это произошло через 1,2 ч после встречи велосипедиста с первым пешеходом. Определить время движения велосипедиста от начала движения до встречи с первым пешеходом.

Решение:

Пусть — место встречи велосипедиста с первым пешеходом (рис. 17.2).

Пусть — скорость велосипедиста, — скорость каждого из пешеходов. Тогда искомое время

Согласно условию задачи имеем

где — место (пункт), где велосипедист догнал второго пешехода, вышедшего из (в направлении ). Так как велосипедист и первый пешеход вышли одновременно, то время, в течение которого они находились в пути до встречи в , составляет

Расстояние велосипедист преодолел за ч, а второй пешеход за это время прошел км со скоростью . Следовательно,

Уравнение (16) в силу (14) и (15) можно записать так:

Аналогично, используя равенства (14) и (15), преобразуем уравнение (17):

Из (18) и (19) следует, что

откуда

Пример №199.

Из пунктов и навстречу друг другу вышли одновременно два поезда. Каждый из них двигался сначала равноускоренно (начальные скорости поездов равны нулю, ускорения различны), а затем, достигнув некоторой скорости, — равномерно. Отношение скоростей равномерного движения поездов равно . В момент встречи поезда имели равные скорости, а в пункты и прибыли одновременно. Найти отношение ускорений поездов.

Решение:

Пусть и — скорости равномерного движения первого и второго поездов, и — их ускорения. Предположим, что , тогда

Графики скоростей поездов как функций времени изображены на рис. 17.3.

Здесь и — время равноускоренного движения поездов, — момент их встречи, — время прохождения пути каждым из поездов. Заметим, что а так как и в момент поезда имели равные скорости.

Из равенств и условия (20) следует, что

Таким образом, для решения задачи нужно найти отношение

По условию в момент поезда имели равные скорости. Следовательно,

Из (22) и (20) находим

Пусть — все расстояние, пройденное каждым из поездов, тогда величина равна площади каждой из трапеций и (рис. 17.3), т. е.

Из равенств (24), (25) и (20) находим

Итак, получены уравнения (23) и (26), связывающие и . Не хватает еще одного уравнения. Такое уравнение (и в этом ключ к решению задачи) мы получим, заметив, что сумма расстояний и , пройденных поездами до встречи, равна .

Из (24), (27) и (23) следует, что т.е.

а из (26) и (28) получаем

Наконец, из равенств (21) и (29) находим, что

Ответ.

Пример №200.

Два велосипедиста движутся по кольцевой велотрассе длины , часть которой проходит по стадиону, а оставшаяся часть — по городским улицам. Скорость первого велосипедиста на стадионе равна , а на городских улицах равна . Скорость второго велосипедиста на стадионе равна , а на городских улицах . Велосипедисты одновременно въезжают на стадион. Через какое время после этого один из них впервые совершит обгон другого?

Решение:

Первый велосипедист проезжает полный круг за время

а второй — за время

Поэтому второй велосипедист догонит первого, если проедет на круг больше, чем первый, причем это произойдет на стадионе, поскольку там скорость второго больше, чем у первого.

Пусть — время от начала движения до момента, когда второй совершит обгон первого; — число целых кругов, пройденных до обгона вторым велосипедистом; — часть пути по стадиону, пройденная велосипедистами после кругов, пройденных вторым.

Так как на полный круг первый затрачивает на больше, чем второй, то второй, отрываясь от первого, догонит первого, когда выигрыша во времени будет достаточно, чтобы второй проехал круг. Поэтому второму достаточно проехать полных кругов чтобы затем на стадионе обогнать первого. Из условия равенства времени движения каждого его участника с учетом пройденного пути получаем систему уравнений

откуда (при ) находим

Ответ.

Пример №201.

Катер по реке и автобус по дороге, идущей вдоль берега реки, отправляются одновременно из пункта А в пункт В и совершают безостановочное движение между А и В. Первая их встреча произошла, когда автобус прошел — всего расстояния от А до В, а вторая встреча — когда автобус после первого захода в В проехал всего расстояния от В до А. Первый раз в пункт В автобус прибыл на 16 мин позже катера. Через сколько часов после начала движения автобус и катер окажутся одновременно в пункте А, если скорость катера в неподвижной воде и скорость автобуса постоянны ?

Решение:

Первый способ. Пусть и — время (в часах), за которое проходят путь АВ автобус и катер соответственно, a время, за которое катер проходит путь ВА, — расстояние АВ.

До первой встречи в пункте С автобус прошел путь за время . Такое же время катер затратил на АВ и путь ВС, равный . Следовательно,

До второй встречи автобус затратил время а катер — время (на АВ), затем (на ВА) и еще — . Значит,

По условию, автобус первый раз прибыл в В на 16 мин (на ч) позже катера, т. е.

Решив систему (30)-(32) находим

Автобус оказывается в пункте А, преодолев (четное число раз) путь от А до В и затратив время . Катер окажется в пункте А, совершив рейсов от А до В и рейсов от В до А и затратив время Одновременно в пункте А автобус и катер окажутся лишь в том случае, когда найдутся и такие, что т. е.

Так как 12 и 5 — взаимно простые числа, то число является целым только в том случае, когда делится на 5. Наименьшее возможное число и тогда

Итак, автобус и катер первый раз одновременно окажутся в пункте А, если автобус сделает рейсов (катер—12) и затратит время

Ответ. Через 4 ч.

Второй способ. Пусть — скорости соответственно катера в стоячей воде, автобуса и течения реки, — расстояние от А до В (река течет от А к В, скорость — в километрах в минуту). Тогда, учитывая, что до первой и второй встречи катер и автобус затратили одинаковое время, получаем

Так как катер пришел в пункт В на 16 мин раньше автобуса, то

Введем следующие обозначения:

Тогда система (33)—(35) примет вид

Линейная система (36) имеет решение Время, затраченное катером на путь от А до В и обратно, равно (мин), а время, затраченное автобусом на тот же путь, равно Одновременно автобус и катер первый раз окажутся в пункте А через целое число поездок, поэтому искомое время есть наименьшее общее кратное чисел 48 и 20 и равно 240 мин, т. е. 4 ч.

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Источники:

https://7gy.ru/gdz/matematika-otvety/3803-gdz-matematika-3-klass-uchebnik-3-chast-peterson.html
https://sprint-olympic.ru/uroki/matematika-uroki/93258-zadachi-na-dvijenie-dlia-4-klassa-formyly-i-primery-reshenii.html
https://shkolnaiapora.ru/vpr/5-klass/vpr-po-matematike-2020-variant-1
https://9219603113.com/zadachi-na-dvizhenie-s-primerami-resheniya/